Groupe de Poincaré

La Symétrie de Poincaré ou groupe de Poincaré est la totalité des symétries pour la relativité restreinte et inclut



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La Symétrie de Poincaré ou groupe de Poincaré est la totalité des symétries pour la relativité restreinte et inclut

Les deux derniers types de symétrie forment les transformations de Lorentz, mais pour former un groupe, le groupe de Lorentz, il est indispensable d'y inclure les rotations. Les quatre types génèrent le groupe de Poincaré lui-même. On dit que les éléments invariants suivant ce groupe satisfont l'invariance de Poincaré ou invariance relativiste.

Définition mathématique

En physique et en mathématiques, le groupe de Poincaré, nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Henri Poincaré, est le groupe des isométries d'un espace de Minkowski : c'est le groupe des transformations affines de l'espace-temps de la relativité restreinte qui laissent invariant l'intervalle d'espace-temps.

Il s'agit en fait d'un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Le groupe abélien des translations est un sous-groupe normal tandis que le groupe de Lorentz est un sous-groupe, correspondant au stabilisateur d'un point. En d'autres termes, le groupe de Poincaré est le produit semi-direct des translations avec les transformations de Lorentz.

Un autre façon d'introduire le groupe de Poincaré est de le présenter comme extension de groupe du groupe de Lorentz par une représentation linéaire de ce dernier.

Ses représentations irréductibles et unitaires d'énergie positive sont caractérisées par la masse (nombre réel positif) et le spin (entier ou demi-entier), qui sont aussi associés à des particules en mécanique quantique.

En accord avec le programme d'Erlangen, la géométrie dans un espace de Minkowski est définie suivant le groupe de Poincaré : un espace de Minkowski est reconnu comme un espace homogène pour ce groupe.

Le groupe de Poincaré est un groupe symétrique pour toute théorie relativiste. Selon le théorème de Nœther cela implique que l'ensemble des particules élémentaires ont les mêmes invariants associés qui permettent alors de les distinguer, et par conséquent de les désigner : le quadri-moment (c'est-à-dire leur masse) et les nombres quantiques intrinsèques JPC, avec J représentant le spin, P la parité et C le nombre quantique de symétrie C.

Algèbre de Poincaré

L'algèbre de Poincaré est l'algèbre de Lie du groupe de Poincaré. En composantes, le crochet de Lie est donné par les relations suivantes :

P est le générateur de cette translation, M est le générateur des transformations de Lorentz et η est la métrique de Minkowski.

Voir aussi

Sources

Notes et références

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