Oscillateur harmonique quantique

Un oscillateur est un dispositif périodique dans le temps. L'harmonicité indique qu'on considère le potentiel associé comme une parabole.



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Un oscillateur est un dispositif périodique dans le temps. L'harmonicité indique qu'on considère le potentiel associé comme une parabole. Cette approximation est justifiée dans la majorité des cas, à condition que l'amplitude de l'oscillation ne soit pas trop élevée. C'est pour cela que le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle majeur dans de nombreuses applications de la physique.
La mécanique quantique a révolutionné la plupart de concepts fondamentaux. L'oscillateur harmonique a aussi subit une reformulation dans ce cadre quantique, ce qui a permis d'élucider plusieurs résultats expérimentaux, surtout en physique de la matière condensée.

L'oscillateur harmonique classique à une dimension

Icône de détail Article détaillé : oscillateur harmonique.

Un oscillateur harmonique classique à une dimension est modélisé par un potentiel parabolique, typiquement :

V(x) = \frac{1}{2}m\omegaˆ2 xˆ2

On prouve alors aisément qu'une particule de masse m dans ce potentiel a un mouvement sinusoïdal de pulsation ω.

Position du problème

Pour faire une étude quantique de ce type d'oscillateurs, il faut écrire l'opérateur hamiltonien correspondant :

\widehat{\textbf{\textit{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}ˆ2}{2m} + \frac{1}{2}m \omegaˆ2 \widehat{\textbf{\textit{x}}}ˆ2

\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x} est la composante sur l'axe x de l'opérateur impulsion de la particule.

Il faut alors résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps associée à cet hamiltonien :

\widehat{\textbf{\textit{H}}}\left | \psi (x) \right \rangle = E\left | \psi (x) \right \rangleE est l'énergie associée à une fonction d'onde \left | \psi (x) \right \rangle.

On peut déjà formuler quelques remarques :
  • Comme V est positif ou nul, alors les valeurs propres E seront positives ou nulles.
  • Le confinement de la particule dans ce potentiel indique que le spectre de ces énergies sera discret.
  • Le dispositif ne fait apparaître qu'un seul degré de liberté, il y aura par conséquent un seul nombre quantique.

Simplification de l'hamiltonien

Pour simplifier l'écriture de \widehat{\textbf{\textit{H}}}, on pose les opérateurs suivants :

\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{H}}}}{\hbar\omega}, \widehat{\textbf{\textit{P}}}=\frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}}{\sqrt{m\hbar\omega}}, et \widehat{\textbf{\textit{X}}}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \widehat{\textbf{\textit{x}}}

(\hbar est la constante de Planck réduite).

Cela nous sert à réécrire l'hamiltonien sous la forme simple : \widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}ˆ2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}ˆ2 \right).

On définit alors un nouvel opérateur :
\widehat{\textbf{\textit{a}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \widehat{\textbf{\textit{X}}}+i\widehat{\textbf{\textit{P}}} \right)
Remarques :
  • \left[ \widehat{\textbf{\textit{X}}},\widehat{\textbf{\textit{P}}} \right] = \frac{1}{\hbar}\left[ \widehat{\textbf{\textit{x}}} , \widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x} \right] = i\widehat{\textbf{1}}
  • \widehat{\textbf{\textit{a}}} n'est pas un opérateur hermitien  \left( \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} \ne \widehat{\textbf{\textit{a}}} \right).
  • Cependant, on a la le commutateur : \left[ \widehat{\textbf{\textit{a}}},\widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} \right]=\widehat{\textbf{1}}.
  • On démontre facilement : \widehat{\textbf{\textit{X}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ\dagger+\widehat{\textbf{\textit{a}}} \right), \widehat{\textbf{\textit{P}}}=i\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}-\widehat{\textbf{\textit{a}}}\right) et \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} \widehat{\textbf{\textit{a}}}= \frac{1}{2}\left(\widehat{\textbf{\textit{X}}}ˆ2+\widehat{\textbf{\textit{P}}}ˆ2\right) -\frac{1}{2}.
Cela donne finalement l'écriture simplifiée de l'hamiltonien :
\widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}} +\frac{1}{2} \widehat{\textbf{1}}

Calcul des valeurs propres

Les valeurs propres \mathcal{E} de l'hamiltonien \widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}} vérifient, par définition, l'équation : \widehat{\boldsymbol{\mathcal{H}}}\left | \psi (t) \right \rangle = \mathcal{E}\left | \psi (t) \right \rangle.
On développe plusieurs points :

  • Les valeurs propres n de l'opérateur \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}} sont positives ou nulles.
  • Si n est une valeur propre associée au vecteur propre \left | n \right \rangle, alors n − 1 est aussi valeur propre associée au vecteur \widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | n \right \rangle. Cela donne alors \widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | n \right \rangle=\sqrt{n}\left | n-1 \right \rangle.
  • De même, \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ\dagger\left | n \right \rangle=\sqrt{n+1}\left | n+1 \right \rangle.
  • n doit être entier.

Les résultats qui ont précédé donnent alors :

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont : E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) (n \ge 0)

Ainsi, les énergies accessibles par l'oscillateur sont quantifiées. Ce résultat a de nombreuses répercussions en physique statistique par exemple.

Calcul des états propres

  1. On vérifie que pour l'état essentiel on a l'équation suivante : \widehat{\textbf{\textit{a}}} \left | 0 \right \rangle = 0
  2. On repasse par la définition de a pour trouver \left(\frac{m \omega}{\hbar} x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)\Psi_{0}(x) = 0
  3. On résout cette équation différentielle : \Psi_{0}(x) = C_{0} \exp\left(- \frac{m \omega xˆ{2}}{2 \hbar}\right)
    En normalisant ce résultat, on trouve C_{0} = \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)ˆ{\frac{1}{4}}
    Les solutions étant proportionnelles entre elles, on en déduit que cet état essentiel est non dégénéré.
  4. Une démonstration par récurrence montre que les états propres de \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ\dagger \widehat{\textbf{\textit{a}}} s'écrivent : <img class=

Cette dernière équation nous sert à retrouver explicitement tout autant de fonctions d'ondes qu'on désire. Par exemple pour n=1\, on obtient :
\Psi_{1}(x) = \left( \frac{4}{\pi} \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right )ˆ{3} \right )ˆ{\frac{1}{4}} x \exp \left( -\frac{1}{2} \frac{m \omega}{\hbar} xˆ{2} \right)

Représentation matricielle

  • La matrice représentative de l'hamiltonien \widehat{\textbf{\textit{H}}} sur la base des \vert n \rangle est , par construction, diagonale.

On a \widehat{\textbf{\textit{H}}}= \hbar \omega \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 1+1/2 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & 2+1/2 &\cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

  • Sachant que \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} \vert n \rangle = \sqrt{n+1} \vert n+1 \rangle, en multipliant à gauche par \vert k \rangle il vient \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}_{k,n}=\sqrt{n+1} \langle k \vert n+1 \rangle = \sqrt{n+1} \delta_{k,n+1}

La matrice représentative de \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} sur la base des \vert n \rangle est par conséquent \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

Puisque \widehat{\textbf{\textit{a}}}_{k,n}=\widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}_{n,k}, la matrice \widehat{\textbf{\textit{a}}} est construite en transposant \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger} : \widehat{\textbf{\textit{a}}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

  • Il est alors facile de construire les matrices représentatives des observables \widehat{\textbf{\textit{x}}} et \widehat{\textbf{\textit{p}}} puisque :

 \widehat{\textbf{\textit{x}}}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}} \widehat{\textbf{\textit{X}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} + \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}\right) et  \widehat{\textbf{\textit{p}}}=\sqrt{\hbar m\omega}\widehat{\textbf{\textit{P}}}=-i\sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}}\left(\widehat{\textbf{\textit{a}}} - \widehat{\textbf{\textit{a}}}ˆ{\dagger}\right)

donc \widehat{\textbf{\textit{x}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix} et \widehat{\textbf{\textit{p}}}= \sqrt{\dfrac{\hbar m\omega}{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & \cdots \\ i & 0 & -i\sqrt{2} & 0 & \cdots \\ 0 & i\sqrt{2} & 0 & -i\sqrt{3} &\cdots \\ 0 & 0 & i\sqrt{3} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\ddots \end{pmatrix}

Interprétation

Densité de probabilité n (x) |² pour les premières valeurs de l'énergie, en commencant par l'essentiel (n = 0) en bas puis en augmentant la valeur de l'énergie en montant. L'axe horizontal correspond à la coordonnée x, les couleurs plus claires indiquent une densité de probabilité plus forte.

En analysant ces fonctions d'ondes, on retrouve de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie), la particule a plus de chance de se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va par conséquent passer bien plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

États cohérents

D'autres états présentent un intérêt physique. Voir à État cohérent.

Applications

Pour l'ensemble des calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est particulièrement intéressante (en effet, on remarque que le développement limité à l'ordre 2 d'un puits nous donne une parabole). Par exemple si on souhaite étudier un "piège harmonique" à deux dimensions (condensation de Bose-Einstein à 2D) on pourra poser le hamiltonien suivant pour débuter l'étude :  \widehat{\textbf{\textit{H}}} = \left( \frac{\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{x}ˆ2+\widehat{\textbf{\textit{p}}}_{y}ˆ2}{2m} + {1\over 2} m \omegaˆ2 \left(\widehat{\textbf{\textit{x}}}ˆ2+\widehat{\textbf{\textit{y}}}ˆ2 \right) \right)

Généralisation à trois dimensions

Ces calculs pour une seule dimension se généralisent particulièrement bien à 3 dimensions. L'hamiltonien est alors simplement sous la forme d'une somme de trois hamiltoniens indépendants, qui sont par conséquent étudiables séparement précisément comme nous l'avons fait auparavant.

Les énergies accessibles par l'oscillateur sont : E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right) (n\ge 0)


avec n = nx + ny + nz : l'énergie dépend de trois nombres quantiques indépendants. Pour une même énergie, il va par conséquent être envisageable d'imaginer des configurations différentes : les niveaux d'énergie sont dégénérés.

On calcule le nombre de dégénérescences pour le n-ième niveau d'énergie :  g_{n} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Oscillateur anharmonique

Le modèle harmonique d'un puits de potentiel est certes une approche intéressante et finalement assez simple, mais pour étudier les écarts à l'harmonicité d'un dispositif réel, il va falloir pousser le développement limité du potentiel à un ordre supérieur. On introduit alors un terme perturbatif W dans l'hamiltonien puis, avec la théorie des perturbations stationnaires, on va calculer les nouvelles énergies du dispositif.

Terme en x3

Si on pousse le développement limité du potentiel à l'ordre 3, on obtient le terme perturbatif suivant comparé à l'oscillateur harmonique : W = \epsilon \hbar \omega Xˆ{3}ε est particulièrement petit comparé à 1. Le mouvement de la particule dans un tel potentiel n'est plus particulièrement symétrique. Le calcul théorique des énergies donne alors : E_n = \left( n + {1 \over 2} \right) \hbar \omega - {15 \over 4} \epsilonˆ2 \left( n + {1 \over 2} \right)ˆ2 \hbar \omega - {7 \over 16} \epsilonˆ2 \hbar \omega + ...

L'utilisation de la méthode des perturbations pour ce calcul impose un résultat approché (correction du deuxième ordre ici). On remarque tandis que les niveaux d'énergie ont été abaissés par cette correction. Le calcul des nouvelles fonctions d'onde montre qu'elles sont constituées par des couplages entre les anciennes : \Phi_n (x) = \Psi_n (x) + \epsilon \left( - \alpha (n) \Psi_{n+1} (x)+\alpha (n-1) \Psi_{n-1} (x) - \beta(n) \Psi_{n+3} (x) + \beta (n-3) \Psi_{n-3} (x) \right)  + ...

Application

Une molécule diatomique dans le modèle harmonique peut absorber et émettre des ondes électromagnétiques à la pulsation ω. Or dans la pratique, on observe d'autres raies absorbées ou émises : le modèle anharmonique sert à bien en rendre compte, puisque selon la nouvelle expression des fonctions d'onde, deux états \Phi_{n_{1}} et \Phi_{n_{2}} peuvent etre reliés même si n1 et n2 différent de plus de 1. La constante ε peut ainsi être calculée dans cet exemple en analysant le spectre d'absorption.

Voir aussi

Bibliographie

  • Mécanique Quantique R. Feynman
  • Cours de mécanique quantique Y. Ayant, E. Belorizky

Liens externes

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