Opérateur d'échelle

En physique quantique, en seconde quantification, un opérateur d'échelle est un opérateur augmentant ou diminuant les valeurs propres d'un autre opérateur.

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Théorie quantique des champs - Physique quantique

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moyennant un changement d'échelle approprié, un tel hamiltonien... d'annihilation à droite des opérateurs de création), l'équation... (source : phys.ens)

En physique quantique, en seconde quantification, un opérateur d'échelle est un opérateur augmentant ou diminuant les valeurs propres d'un autre opérateur. L'opérateur augmentant est fréquemment nommé opérateur de création; l'opérateur diminuant opérateur d'annihilation.

Opérateur de création

C'est un opérateur qui agit sur l'espace de Fock en changeant un état à $N$ particules en un état à $N + 1$ particules.

Dans le cas des bosons, l'opérateur de création $aˆ\dagger_i$ qui crée une particule dans l'état $i$ est tel que :

$aˆ\dagger_i \;| N_1,N_2,\ldots,N_i,\ldots\rangle = \sqrt{N_i+1} \;| N_1,N_2,\ldots,N_i+1,\ldots\rangle$

D'autre part, les opérateurs de création commutent entre eux :

$[aˆ\dagger_i,aˆ\dagger_j]=0$

Un état normalisé de l'espace de Fock bosonique s'écrit donc :

$| N_1, N_2, \ldots\rangle = \prod_k \frac{(a_kˆ\dagger)ˆ{N_k}}{\sqrt{N_k !}} \;| 0 \rangle$ ,

où $|0\rangle$ sert à désigner le vide.

Dans le cas des fermions, à cause du principe d'exclusion de Pauli, il n'est pas envisageable de créer deux fermions dans le même état, si quoique $(cˆ\dagger_i)ˆ2=0$ . L'action de l'opérateur de création est par conséquent définie par :

$cˆ\dagger_i \;| N_1,N_2,\ldots,0_i,\ldots\rangle = | N_1, N_2, \ldots 1_i, \ldots \rangle$

De plus, les opérateurs de création de fermions anticommutent : $cˆ\dagger_i cˆ\dagger_j =-cˆ\dagger_j cˆ\dagger_i$

On peut écrire les états normalisés de l'espace de Fock sous la forme :

$|N_1, N_2, \ldots \rangle = (cˆ\dagger_{i_1})ˆ{N_{i_1}} (cˆ\dagger_{i_2})ˆ{N_{i_2}} \ldots |0\rangle$

Mais du fait de l'anticommutation des opérateurs de création de fermions, il est indispensable de choisir une convention spécifique pour l'ordre dans lequel les opérateurs de création doivent agir.

Le conjugué hermitique d'un opérateur de création est un opérateur d'annihilation.

Dans le cas des bosons, les opérateurs de création et les opérateurs d'annihilation satisfont à des relations de commutation : $[a_i,aˆ\dagger_j]=\delta_{i,j}$ , qui font que l'algèbre des opérateurs de création et d'annihilation des bosons est semblable à l'algèbre des opérateurs qui génèrent le spectre de l'oscillateur harmonique quantique. Cela entraine que les phonons et les photons peuvent être traités comme des bosons.

Dans le cas des fermions, les opérateurs de création et d'annihilation satisfont à des relations d'anticommutation :

$\{cˆ\dagger_i,c_j\}=\delta_{ij}$ .

Opérateur d'annihilation

C'est un opérateur qui fait passer d'un état de l'espace de Fock contenant N ≥ 1 particules à un état contenant (N-1) particules. L'action d'un opérateur d'annihilation sur le vide (N=0) donne zéro.

Dans le cas des bosons, l'action de l'opérateur d'annihilation a_i qui annihile une particule dans l'état i s'écrit :

$a_i \mid N_1, N_2, \ldots, N_i , \ldots \rangle =\sqrt{N_i} \mid N_1, N_2, \ldots, N_i-1 , \ldots \rangle$

D'autre part, dans le cas des bosons, les opérateurs d'annhilation commutent entre eux :

[a_i, a_j] = 0

Dans le cas des fermions, comme (principe d'exclusion de Pauli) un état ne peut être occupé que par une particule, l'action de l'opérateur d'annihilation c_i est définie par :

$c_i \mid N_1, N_2, \ldots, 1_i, \ldots \rangle= \mid N_1, N_2,\ldots 0_i, \ldots \rangle$

D'autre part, les opérateurs d'annhilation des fermions anticommutent entre eux :

{c_i, c_j} = c_i c_j + c_j c_i = 0

Le conjugué hermitique d'un opérateur d'annihilation est un opérateur de création.

Notes et références

Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]

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