Relation de Steinhart-Hart

La relation de Steinhart–Hart modélise l'évolution de la résistance électrique d'un semi-conducteur selon sa température.

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Physique de la matière condensée - Physique quantique

La relation de Steinhart–Hart modélise l'évolution de la résistance électrique d'un semi-conducteur selon sa température. Les composants exploitant cette propriété se nomment des thermistances. Cette loi peut s'écrire :

${1 \over {T+273,15}} = A + B \ln(R) + C (\ln(R))ˆ3 \,$

Avec :

$T$ sa température (en °C) ;
R sa résistance électrique (en ohms) ;
$A$ , $B$ et $C$ les cœfficients de Steinhart-Hart qui caractérisent chaque thermistance.

Cette relation est valide sur toute la plage de fonctionnement du composant. Il existe par contre des formules plus faciles à manipuler mais limitées à une gamme restreinte de températures (voir l'article thermistance).

L'équation contient aussi, en principe, un terme en $(ln R) 2$ le plus souvent négligeable devant les autres cœfficients. C'est pourquoi il n'est pas reconnu ici. (En sa présence il y aurait alors 4 cœfficients. )

Utilisation

Cette relation permet fréquemment d'estimer avec précision la résistance d'une thermistance selon la température sur toute sa plage de fonctionnement. Alors que les équations, certes plus simples, données par les fabricants ne sont fréquemment précises que sur certains intervalles de température. Il peut par conséquent quelquefois être utile de disposer de cette loi plus délicate mais toujours précise.

Les cœfficients de Steinhart–Hart sont quelquefois publiés par les fabricants. Si ce n'est pas le cas, il faut résoudre un dispositif à 3 équations et 3 inconnues pour trouver ces constantes A, B et C.

Inversion

On peut chercher la relation réciproque (obtenir R en sachant T). Cela est envisageable à partir des mêmes cœfficients A, B et C. Il s'agit de considérer la relation comme une équation de troisième degrés en ln (R), qu'on résout par la méthode de Cadran. T est en °C et R en ohms.

Posons :

$\gamma=\left({1\over{T+273,15}}-A\right)\times{1\over C}$ et $\delta=\sqrt{\gammaˆ2 + {4\over{27}}\left({B\over C}\right)ˆ3}$

dès lors :

$ln(R)=\left({\gamma+\delta \over 2}\right)ˆ{1/3} + \left({\gamma-\delta \over 2}\right)ˆ{1/3}$ dont on prend l'exponentielle pour avoir R.

Cœfficients de Steinhart-Hart

Pour trouver les cœfficients de Steinhart-Hart il suffit de connaître trois points de fonctionnement et de poser un dispositif. Pour cela, on utilise trois valeurs de résistance données pour trois températures connues.

$\begin{cases} A+(\ln R_1)°(\ln R_1)ˆ3À{1\over T_1+273,15} \\ A+(\ln R_2)°(\ln R_2)ˆ3À{1\over T_2+273,15} \\ A+(\ln R_3)°(\ln R_3)ˆ3À{1\over T_3+273,15} \end{cases}$

Avec R1, R2 et R3 les valeurs de la résistance aux températures T1, T2 et T3, on peut alors exprimer A, B et C (tous calculs faits)...

posons en premier lieu : $L 1 = ln (R 1)$ , $L 2 = ln (R 2)$ et $L 3 = ln (R 3)$ ,

$Y_1={1\over T_1+273,15}$ , $Y_2={1\over T_2+273,15}$ et $Y_3={1\over T_3+273,15}$ ,

puis : $\gamma_2={Y_2-Y_1\over L_2-L_1}$ et $\gamma_3={Y_3-Y_1\over L_3-L_1}$ . Par conséquent :

$\Rightarrow C=\left( { \gamma_3 - \gamma_2 \over L_3 - L_2} \right)\times\left({1 \over L_1 + L_2 + L_3}\right)$

$\Rightarrow B=\gamma_2 - C.(L_1ˆ2+L_1.L_2+L_2ˆ2)$

$\Rightarrow A=Y_1 - (B+L_1ˆ2À.L_1$

Origines de la relation

Le nom de cette équation vient de John S. Steinhart et Stanley R. Hart qui ont été les premiers à la publier dans ^[1]. C'est à la Carnegie Institution of Washington que la formule a été trouvée.

Le professeur Steinhart (1929-2003), était membre de l'université de Madison au Wisconsin de 1969 à 1991 [1].

Le docteur Hart, scientifique éminent de l'Institut océanographique de Woods Hole, était aussi membre entre autres de la Geological Society of America et de la (en) European Association of Geochemistry.

Références

↑ "Calibration curves for thermistors", Deep Sea Res., 15, 497-503 (1968).

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