Les trois axiomes de la mécanique quantique

Fréquemment, la mécanique quantique est présentée comme si elle était une théorie étrange, dépassant même l'entendement humain.

Catégories :

Mécanique quantique - Physique quantique

Source image : fr.wikipedia.org
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

... de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan.... en trois axiomes. Enfin, ces trois nouveaux axiomes sont énormément plus... Définition de l'état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un... mesure parfaite de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du ... (source : techno-science)
Le fait que la mécanique quantique tolère l'existence d'états... de la physique qui étudie les propriétés macroscopiques de la matière que... (source : books.google)
Mécanique quantique standard. Vecteur d'état intriqué du dispositif Rayons X +.... Fuchs : ”Il y a toujours des questions que nous pouvons poser au sujet d'un... (source : scribd)

Introduction

Fréquemment, la mécanique quantique est présentée comme si elle était une théorie étrange, dépassant même l'entendement humain. Or s'il est vrai que cette théorie est particulièrement mal comprise par la majorité des profanes, elle est plutôt bien comprise par les initiés. Pourquoi une telle différence de compréhension ? Peut-être simplement car de nombreuses choses différentes ont été dites sur celle-ci, peut-être du fait que son formalisme est d'une abstraction jamais identiqueée jusque là par une théorie voulant décrire le "monde observable". Ou simplement car cette théorie va à l'encontre des fondements de la pensée scientifique, ceux-là même qui nous ont permis de construire notre représentation du monde. En effet la mécanique quantique pose de gros problèmes au concept du déterminisme tel que nous le connaissions avant le XX^e siècle. Avec son avènement, il nous faut reconstruire les concepts de mesure, de reproductibilité d'une expérience, et même de déterminisme...

Le modèle des trois axiomes est une approche rigoureuse qui mène à l'idée que l'espace des états est un espace vectoriel (fréquemment un espace de Hilbert) chose qui est postulée par d'autres approches. La connaissance du théorème de Stone et du théorème de Nœther (certainement les deux théorèmes principaux de la mécanique quantique, le premier permettant de construire l'idée d'évolution temporelle, le deuxième la notion de quantité de mouvement) mène sans trop de difficulté à la reconstruction des postulats habituels de la mécanique quantique (voir postulats de la mécanique quantique).

Les 3 axiomes

Pour posséder le vocabulaire des trois axiomes, il est indispensable d'introduire quelques notions principales. En effet, en opposé aux six postulats de la mécanique quantique, ces trois axiomes reposent sur des concepts étroitement liés à l'expérience ou alors à la mesure. (il peut être intéressant de lire Problème de la mesure quantique à ce sujet)

Questions, Propriétés et Espace des états

La notion de question découle de l'idée de mesure. Une question $\alpha ∼$ est une mesure sur un dispositif physique dont la réponse est vraie ou fausse.

Pour illustrer cette idée, nous pouvons faire l'expérience de pensée suivante :

Le dispositif physique est constitué d'une voiture qui roule sur l'autoroute. La question est : Roule-t-elle à 130 km/h ? Notre appareil de mesure est un radar. La réponse est vraie, si sur le radar, on lit 130 km/h, elle est fausse sinon.

A partir de toute question $\alpha ∼$ , il est envisageable de définir une question inverse $\tilde{\alpha}$ . Dans notre expérience de pensée, la question inverse serait : la voiture roule-t-elle à une vitesse différente de 130 km/h ?

La totalité $Q∼$ est la totalité de l'ensemble des questions qu'on peut poser sur le dispositif étudié.

On dira qu'une question est vraie pour un dispositif donné quand on peut prédire avec certitude (par un calcul théorique) que la mesure répondra "oui", avant de la réaliser. Une question non vraie n'est pas obligatoirement fausse à coup sûr ; dans ce modèle on laisse la place aux questions incertaines, aléatoires. Une question est incertaine pour un dispositif donné quand, si on construisait un dispositif semblable du point de vue de la physique, un clône possédant le même état physique, alors la mesure sur le clône ne donnerait pas à coup sûr la même valeur que la mesure sur le dispositif d'origine. Une question incertaine ne peut donc pas être vraie : le dispositif physique choisit une réponse aléatoirement quand il est mesuré, malgré la connaissance totale de son état a priori. L'existence de questions incertaines est la différence clef entre la physique classique et la physique quantique, comme nous le formaliserons plus bas avec l'axiome 0.

On peut construire une relation de préordre partiel (relation d'ordre) sur les questions :

Reprenons notre expérience de pensée, nous définissons deux questions :

$\alpha∼$ : la voiture roule-t-elle à une vitesse comprise entre 120km/h et 140km/h ?

$\beta∼$ : la voiture roule-t-elle à 130km/h ?

On remarque que $\alpha∼$ est toujours vrai si $\beta∼$ est vrai, on dira que $\alpha∼$ est plus faible que $\beta∼$

Notation : $\beta∼ < \alpha∼$

Attention au sens, la question la plus faible est à droite de " $<$ ". Cette notation est suggérée par le fait que la totalité des cas où $\beta∼$ est vraie est plus petit que pour $\alpha∼$ , ie $\beta∼$ est plus restrictive. Cette notation est qui plus est conforme avec la relation intuitive $\forall q\in Q∼, \, 0 \leq q \leq 1$ , avec 0 et 1 les questions absurde (réponse toujours fausse) et triviale (réponse toujours vraie).

Ce préordre partiel crée une relation d'équivalence :

on dira $\alpha∼$ est équivalent à $\beta∼$ , si et uniquement si $\alpha∼ \leq \beta∼$ et $\beta∼ \leq \alpha∼$

notation : $\alpha∼ \sim \beta∼$

La classe d'équivalence $a∼$ d'une Question $\alpha∼$ est une Propriété.

Une propriété est dite actuelle si les questions associées à celle-ci sont vraies à coup sûr. Au contraire, si les réponses à ses questions sont incertaines ou alors toujours fausses, on dit que la propriété est potentielle.

Nous définissons $L∼$ comme la totalité de l'ensemble des propriétés du dispositif.

Une chose remarquable est , que sans aucune autre supposition, nous pouvons déjà avoir une certaine information sur la structure de $L∼$ . En effet, la relation de préordre sur $Q∼$ impose le fait que $L∼$ soit partiellement ordonné. Et par conséquent $L∼$ est toujours un treillis complet, c'est-à-dire :

$\forall E∼=\big\{ a∼_i | a∼_i \in L∼ , i \in J∼ \big\}$ (J étant un sous-ensemble quelquonque de N (nombre naturel) ) il existe $a∼,b∼ \in L∼$ telle que :

si $x∼ \in L∼$ alors :

$x∼ < a∼_i \forall i \in L∼ \Longleftrightarrow x∼< a∼$

$<img class=$ sont respectivement la limite inférieure et supérieure du sous-ensemble $E∼$ .

États et Propriétés-états

Par définition, l'état $E∼$ d'un dispositif physique est la totalité de toutes ses propriétés actuelles. Il vient $E\subset L∼$ .

Un état $E∼$ est un sous-ensemble de $L∼$ tel que la propriété $p∼$ est actuelle lorsque l'ensemble des propriétés contenues dans $E∼$ sont actuelles. On peut par conséquent définir un état ainsi :

$E∼=\big\{ x∼ \in L∼ | p∼ < x∼ \big\}$

Une telle propriété $p∼$ définit entièrement $E∼$ et est nommée propriété-état.

Atomes

Les atomes sont les éléments minimaux de $L\setminus \{0\}$ . C'est à dire, une propriété $p \in L$ est nommée atome si :

$p \neq 0 ,\quad p$ est différente de la propriété minimal définie par la question $\tilde{i}$ (l'inverse de la question triviale)

et que :

$\forall x\in L, \; x<p \Rightarrow ( x=p \quad \textrm{ou} \quad x=0)$

Les atomes sont des propriétés-états. En effet un atome $p \in L$ étant non nul, il existe un état $E$ du dispositif dans lequel $p$ est actuel. La limite inférieure de $E$ minore $p$ et est non nulle ; donc elle est identique à $p$ .

Représentation de Cartan

Par définition de la relation d'équivalence sous-jacente aux propriétés, une propriété est entièrement déterminée par les états du dispositif dans lesquels elle est actuelle. On formalise cela ici, soit $S$ la totalité de l'ensemble des états envisageable du dispositif. Nous pouvons définir une application $μ$ de $L$ dans $P (S)$ la totalité des partie de S.

$\mu : a \to \mu a = \left\{ E\in S | a \in E \right\}$

Cette application se nomme le morphisme de Cartan, et l'image de $L$ dans $P (S)$ est nommée la représentation de Cartan.

De plus, cette application est injective et préserve l'ordre et la limite inférieure.

Notion d'orthogonalité

On dit de deux états $E_1, E_2 \subset L$ qu'ils sont orthogonaux (notation : $E_1 \perp E_2$ ) s'il existe une question $α$ telle que :

α

est vrai pour

E 1

et $\tilde{\alpha}$ est vrai pour

E 2

Par exemple l'énergie d'une particule quantique piégée dans un puits de potentiel ne peut prendre qu'un ensemble discret de valeurs (elle est quantifiée). On peut par conséquent définir deux états $E 1$ et $E 2$ , où la particule quantique a respectivement une énergie $e 1$ et $e 2$ . Ces 2 états sont orthogonaux par la question $α =$ "la particule a une énergie $e 1$ ", vraie dans l'état $E 1$ et fausse dans l'état $E 2$ . Dans la représentation usuelle des états quantiques de la particule par un espace de Hilbert, les états $E 1$ et $E 1$ seront orthogonaux au sens du produit scalaire.

On dit que deux propriété $a, b \in L$ qu'elles sont orthogonales (notation : $a \perp b$ ) si tout les états $μ a$ sont orthogonaux aux états $μ b$ :

$a \perp b$ si et uniquement si $\mu a \perp \mu b$

Dispositif Classique

Axiome 0 :

Nous dirons qu'une question $\alpha∼$ est classique si, pour chaque état $E∼$ , ou bien $\alpha∼$ est vraie, ou bien $\tilde{\alpha}$ est vraie. Et nous dirons d'un dispositif qu'il respecte le préjugé classique si pour chaque propriété $a∼$ il existe au moins une question classique $\alpha∼$

Cet axiome détermine entièrement la structure de $L∼$ . Qui plus est si le dispositif satisfait l'axiome 0 alors le morphisme de Cartan est surjectif et $L∼$ et $P∼(S)$ sont isomorphes

Axiome I

Toute propriété-états est un atome de $L$

Cet axiome veut dire simplement que si deux états $E_1,E_2 \subset L$ sont différents alors la relation $E_1 \subset E_2$ est exclue.

Aristote l'avait déjà énoncé : si le dispositif change d'état, qu'il passe par conséquent de l'état $E 1$ à $E 2$ , il s'enrichit de nouvelles propriétés qui s'actualisent, et il en perd obligatoirement d'autres. Par conséquent $E 1$ ne peut être entièrement contenu dans $E 2$ .

Cet axiome permet d'identifier les états du dispositif aux atomes de $L$ .

Axiome II

Pour chaque état $E$ donné il existe une (unique) question qui est vraie si et uniquement si l'état du dispositif est orthogonal à $E$

Pour chaque état $E$ la question associée est bien unique, car définie par les états dans lesquels elle est actuelle : les états orthogonaux à $E$ . C'est à dire pour n'importe quel état $E$ , il existe une expérience physique servant à savoir à coup sûr qu'un dispositif donné est dans un état orthogonal à $E$ .

En tenant compte de l'axiome I l'axiome II veut dire que :

Pour chaque propriété-état

p

atome de

L

, il existe une (unique) propriété

p'

qui est actuelle si et uniquement si l'état est orthogonal à

p

La fonction $p \mapsto p'$ définie sur les atomes par l'axiome II peut être étendue à $L$ tout entier par :

$a\mapsto a' = \bigwedge \{ p' \, ; \, p \text{ atome}, p\leq a\}$

Cette fonction est plus claire dans la représentation de Cartan :

$\mu (a') = \mu (a) ˆ\perp$

Notation : $Aˆ{\perp}=\big\{ E \in S \, | \, \forall \eta \in A, E \perp \eta \big\}$

Axiome III

L'application de $L$ dans $L$ : $a \to a'$ est surjective.

Structure de l'espace des états

Tout comme l'axiome 0, les axiomes I, II, III déterminent entièrement la structure de l'espace des états.

Théorème :

Si le dispositif satisfait les axiomes 1, 2 et 3 alors :

le morphisme de Cartan détermine un isomorphisme entre $L$ et $(S, \perp)$
$L$ est un treillis complet, comblé d'atomes
L'application définie dans l'axiome III est une orthocomplémentation

L'espace des états est un treillis complet, comblé d'atomes et pourvu d'une orthocomplémentation

Les espaces de Hilbert

Nous désirons montrer que l'espace génèré par les rayons d'un espace de Hilbert convient idéalement pour décrire un espace des états.

Théorème :

Soit H un espace de Hilbert, la totalité de l'ensemble des sous-espaces

G

contenus dans

H

est un treillis complet, orthocomplémenté et comblé d'atome.

Démonstration :

treillis complet :

Les sous-espaces fermés

G

peuvent être ordonnés par inclusion. Ils forment un treillis complet car l'intersection d'ensembles fermés est toujours un ensemble fermé.

Orthocomplementé :

l'application qui à

G

fait correspondre $Gˆ\perp$ définit une orthocomplémentation. En effet :

$(Gˆ\perp)ˆ\perp=G \qquad \qquad G + Gˆ\perp=H$

$G_1 \subset G_2 \Rightarrow G_2ˆ\perp\subset G_1ˆ\perp \qquad G \cap Gˆ\perp = \{ 0\}$

Comblé d'atomes :

Les atomes de ce treillis sont les sous-espaces de dimension 1 (c'est-à-dire les rayons) et l'ensemble des sous-espaces sont génèrés par les rayons qu'il contiennent.

Bibliographie

Constantin Piron, Mécanique Quantique : Bases et Applications, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998 (ISBN 2-88074-399-0)

Cet ouvrage propose l'approche des «trois axiomes», mais ne parle pas des six postulats. Ce livre est par conséquent plutôt conçu pour des gens possédant déjà un bon niveau en mécanique quantique, malgré le fait qu'il soit mathématiquement accessible avec un niveau de mathématique de premier cycle universitaire.

Recherche sur Amazone (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Les_trois_axiomes_de_la_m%C3%A9canique_quantique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.