Hypothèse de De Broglie

En physique, l'hypothèse de De Broglie est l'affirmation que toute matière est pourvue d'une onde : ceci donne lieu à la dualité onde-particule.

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Mécanique quantique - Physique quantique

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  • Le produit de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe de cette onde, vaut c². Broglie n'avait pas été capable de donner l'équation d'onde, ... (source : archivum)

En physique, l'hypothèse de De Broglie est l'affirmation que toute matière est pourvue d'une onde : ceci donne lieu à la dualité onde-particule. De plus, la longueur d'onde et la quantité de mouvement d'une particule sont reliées par une équation simple :

\mathbf{ \lambda = { h\over\ p} } qui posait les bases de la mécanique quantique.

Cette hypothèse a été formulée en 1924 par Louis de Broglie dans sa thèse[1] où il argumente son bienfondé et examine ses conséquences. En 1929, il reçoit le prix Nobel [2] pour ces travaux.

Détails

La longueur d'onde et la quantité de mouvement d'une particule sont reliés par l'équation :

\lambda = \frac{h}{p}

où : λ est la longueur d'onde de la particule

h est la constante de Planck de la particule
p est la quantité de mouvement de la particule
avec : m est la masse de la particule
v est la vitesse de la particule
On remarquera que le cas v = 0 n'est pas envisagé dans cette hypothèse.
avec : p = E / c quantité de mouvement de la particule de masse nulle


Plus l'énergie est grande, plus la fréquence est grande et la longueur d'onde est petite.

Si on s'intéresse à des particules macroscopiques, la masse des objets mesurés est tellement grande devant la constante de Planck que la longueur d'onde obtenue devient infime (pour une personne, elle serait de l'ordre de 10 − 35 mètres tout au plus). C'est pour cela que selon l'hypothèse de De Broglie, le caractère ondulatoire des objets massifs macroscopiques n'est pas mesurable.

Les longueurs d'ondes d'objets microscopiques comme l'électron sont de l'ordre de grandeur de la taille des atomes pour les électrons lents (quelques volts). Dans les microscopes électroniques (10 kV), on arrive tout de même à les faire diffracter par des cristaux grâce aux faibles angles d'incidence.

Contexte historique

Icône de détail Article détaillé : Histoire de la mécanique quantique.

Avant

La constante de Planck, introduite en 1900 pour modéliser le rayonnement du corps noir, amena l'idée d'une quantification de l'énergie du champ électromagnétique dépendant de la fréquence de l'onde, mais aussi l'a exprimé clairement Einstein en 1905, tandis qu'en théorie et expérimentalement -jusqu'aux expériences de ce début de siècle- l'énergie de cette onde ne semblait dépendre que de son amplitude, comme l'ensemble des ondes connues.
En 1913, Niels Bohr expliqua les raies spectrales de l'atome d'hydrogène, en utilisant de nouveau la quantification, dans son article de juillet 1913 On the Constitution of Atoms and Molecules[3].
Ces théories quoique pertinentes vis-a-vis des données expérimentales, étaient strictement phénoménologiques : il n'existait pas de justification rigoureuse pour la quantification, et ne semblaient pas compatibles avec les autres aspects de la physique classique comme relativiste, malgré les efforts des plus grands physiciens du moment.
Louis de Broglie, nourri d'une connaissance précise de l'histoire de la physique, exprima et argumenta l'idée qui débloqua la situation.

Accueil de l'hypothèse

À la fin de sa soutenance de thèse, Jean Perrin, qui était son directeur de thèse, lui demanda comment mettre en évidence cette onde hypothètique. Louis de Broglie lui répondit, sans hésiter, «en diffractant des électrons». Ce qui fut fait en 1927 dans une expérience réalisée par George Paget Thomson, et indépendamment par Clinton Joseph Davisson et Lester Halbert Germer.
Paul Langevin envoya un exemplaire de la thèse à Einstein, qui lui répondit par courrier que Louis de Broglie avait «levé un coin du grand voile». [4]

Le fait que la thèse ait été soutenue par Einstein amena Erwin Schrödinger à prendre connaissance de l'hypothèse de de Broglie, et en «laissant de côté les conceptions relativistes qui m'avaient originellement guidées, mais serrant qui plus est près que je ne l'avais fait l'ressemblance entre mes résultats et la vieille théorie d'Hamilton-Jacobi»[5] obtient en 1925, l'équation différentielle vérifiée par cette onde, l'équation de Schrödinger, non relativiste mais plus maniable que le principe tel que formulé par de Broglie.

Après

Le développement particulièrement rapide de la mécanique quantique après la publication de son travail à mis Louis de Broglie face à une interprétation probabiliste de la fonction d'onde qui ne lui convenait pas et , se sentant plus proche de la vision einsteinienne de la physique, il a essayé de développer sa propre interprétation de la théorie quantique : la théorie de l'onde pilote formulée vers 1927.
À noter que ses hypothèses sur les quanta de lumière, évoquées et utilisées dans sa thèse, n'ont pas eu le même succès.

Contenu de la thèse de de Broglie

Cette partie de l'article fait un rapide survol, dans un langage quelquefois modernisé, du contenu de cette célèbre thèse. Le lecteur soucieux d'exactitude pourra lire la thèse à partir du lien cité en référence.

Une introduction historique

Louis de Broglie dans une première partie examine l'histoire de la physique, mettant en valeur l'émergence de la physique des ondes et de la mécanique. Puis, dans une deuxième partie, il rappelle les étapes de la récente physique des quanta, surtout les arguments et expériences liés à l'effet photoélectrique et la relation de Planck-Einstein.
Cette introduction fini par ces termes :
«Bref, le moment semblait venu de tenter un effort dans l'objectif d'unifier les points de vue corpusculaire et ondulatoire et d'approfondir légèrement le sens véritable des quanta. C'est ce que nous avons fait récemment [6] et la présente thèse a pour principal objet de présenter un exposé plus complet des idées nouvelles que nous avons proposées, des succès auxquels elles nous ont conduit et aussi des particulièrement nombreuses lacunes qu'elles contiennent.»

«L'onde de phase»

Après avoir argumenté sur l'obligation d'unifier la théorie de la relativité et la physique des quanta, surtout du fait que les échanges d'énergie se font par quanta dans l'effet photoélectrique, Louis de Broglie rédigé :

«On peut par conséquent concevoir que par suite d'une grande loi de la Nature, à chaque morceau d'énergie de masse propre m, soit lié un phénomène périodique de fréquence ν telle qu'on ait : hν = mc2, ν étant mesurée, évidemment, dans le dispositif lié au morceau d'énergie. Cette hypothèse est la base de notre dispositif : elle vaut, comme l'ensemble des hypothèses, ce que valent les conséquences qu'on en peut déduire.»

Plus loin dans son travail, il explique ce qui lui fait penser que ce phénomène périodique n'a pas lieu d'être reconnu a priori comme confiné : il s'agirait par conséquent d'une onde se propageant dans l'espace.
Louis de Broglie précise alors sa conception de l'atome : «Ce qui caractérise l'électron comme atome d'énergie, ce n'est pas la petite place qu'il occupe dans l'espace, je répète qu'il l'occupe tout entier, c'est le fait qu'il est insécable, non subdivisible, qu'il forme une unité»

Puis, il présente une contradiction apparente entre son hypothèse et la relativité restreinte, disant que c'était là «une difficulté qui m'a longtemps intrigué», et en propose la résolution par un théorème qu'il nomme "harmonie des phases". Ce théorème indique qu'on considère généralement l'onde associée au corps comme pourvue de deux fréquences et de deux vitesses : la fréquence et la vitesse de phase, la fréquence et la vitesse de groupe.
Les premières concernent le déplacement des crêtes de l'onde postulée, sans que les amplitudes de l'onde ne suivent ce déplacement : il n'y a pas alors de déplacement d'énergie. La vitesse de phase est supérieure à la vitesse de la lumière.
Les deuxièmes concernent le déplacement des amplitudes de l'onde, on dit actuellement de "l'enveloppe" : cela correspond au déplacement de l'énergie du corps. La vitesse de groupe est celle du corps, inférieure à la vitesse de la lumière.


La transformation de Lorentz donne la relation entre la vitesse de la particule, identique à la vitesse de groupe du paquet d'ondes associé à la particule, et la vitesse de phase, dont la moyenne géométrique est la vitesse de la lumière. De Broglie a obtenu la longueur d'onde, rapport de la vitesse de phase à la fréquence. De Broglie n'a fait aucune hypothèse sur la nature de l'onde, toujours inconnue, qui pourrait être gravitationnelle, électromagnétique ou autre. Aujourd'hui, c'est l'hypothèse probabiliste de Born qui est retenue.

Principes de moindre action et de Fermat

Après avoir justifié la restriction de son travail au cadre de la relativité restreinte par la difficulté théorique de le concevoir dans le cadre de la relativité générale, Louis de Broglie rédigé : «Nous étudierons d'une part le principe mécanique de la moindre action sous ses formes Hamiltonienne et Maupertuisienne dans la dynamique classique et dans celle de la Relativité et d'autre part à un point de vue particulièrement général, la propagation des ondes et le principe de Fermat. Nous serons alors amené à concevoir une synthèse de ces deux études, synthèse sur laquelle on peut discuter mais dont l'élégance théorique est incontestable.»


Ainsi, il montre que pour ces deux principes il est envisageable d'en réécrire la formulation sous une forme particulièrement identique, utilisant la quadri-impulsion du corps (ayant une charge électrique, peut-être), pour l'un, et le quadri-vecteur d'onde, pour l'autre principe. Remarquant ensuite que l'égalité hν = E = γ. mc2 est l'égalité de la première coordonnée de ces deux quadri-vecteurs (plus précisément leur proportionnalité par la constante \hbar = h/(2\pi) car k0 = ω = 2π. ν et p0 = E = γ. mc2), de Broglie rédigé : «Le fait que deux vecteurs aient une composante identique ne prouve pas qu'il en soit de même pour les autres. Cependant, par une généralisation tout indiquée nous poserons» l'égalité des autres coordonnées (leur proportionnalité par la même constante)  : p_i = \hbar.k_i pour i = 0;1;2;3.

De Broglie conclut : «Le principe de Fermat appliqué à l'onde de phase est semblable au principe de Maupertuis appliqué au mobile ; les trajectoires dynamiquement envisageables du mobile sont semblables aux rayons envisageables de l'onde.»

Puis il utilise ces nouvelles identiqueités dans des exemples simples pour mieux montrer leur signification.

Etude du modèle quantique de l'atome

Louis de Broglie rappelle le modèle de l'atome d'hydrogène avancé par Niels Bohr, servant à calculer les orbites stables de l'électron autour du proton. L'énoncé en a été perfectionné par Arnold Sommerfeld et Wilson, puis Einstein en 1917 «a donné à la condition de quantification une forme invariante comparé aux changements de coordonnées» utilisant l'intégrale du principe de moindre action telle qu'avancée plus haut dans la thèse. Utilisant alors l'égalité supposée avec le principe de Fermat pour l'onde de phase de l'électron, de Broglie montre que les orbites stables sont celles dont la longueur l vérifie l = n. λ, où λ = la longueur d'onde de l'onde de phase et n \in \N pour qu'il y ai résonance, et retrouve ainsi la formule de Bohr.
Puis, il discute du caractère approximatif de ces conditions mathématiques comparé à la réalité physique où interviennent la dimension de l'électron et le temps de libration indispensable à la stabilisation de l'orbite.
Enfin, il traite la totalité proton-électron vis-à-vis de leur centre de gravité et examine alors la géométrie des orbites, avec leurs ondes de phase.

Les quanta de lumière

Louis de Broglie développe sa conception de la lumière basée sur la théorie des quanta, la relativité restreinte et son onde de phase. Il élabore une vision des quanta de lumière comme pourvus d'une masse non-nulle en invoquant l'équivalence masse-énergie de la relativité restreinte (m = E / c2). Ayant une masse non nulle, mais expérimentalement inférieure à 10-44 gramme, un photon ne peut par conséquent pas atteindre la "vitesse de la lumière" (rebaptisée "vitesse limite de l'énergie"). Admettant que «c'est un fait expérimental que l'énergie lumineuse se déplace avec une vitesse indiscernable de la valeur limite c», Louis de Broglie émet l'hypothèse «qu'un jour en mesurant la vitesse dans le vide d'ondes de particulièrement basse fréquence, on trouvera des nombres assez énormément inférieurs à c».

Louis de Broglie évoque la diffraction, sans proposer une synthèse mathématique précise entre les points de vues corpusculaire et ondulatoire.
Il utilise les quanta de lumière associés à son onde de phase (surtout l'idée qu'ils vont à une vitesse inférieure à la vitesse limite de l'énergie), dans les cas d'un effet Doppler par mouvement de la source, de la réflexion sur un miroir mobile, et au sujet de la pression de radiation du rayonnement noir : il retouve les formules des intensités lumineuses «connus des théories ondulatoires».

Abordant l'étude de «l'optique ondulatoire», il rédigé que «malheureusement, il est toujours impossible d'arriver à des résultats satisfaisants» par la théorie des quanta, comparativement à la théorie de Maxwell. Louis de Broglie fait des propositions théoriques qui «doivent être reconnues comme de vagues suggestions plutôt que comme de véritables explications», entre autres : «assimiler les ondes de phase aux ondes électromagnétiques, tout au moins quant à la répartition des phases dans l'espace, la question des intensités devant être réservée», «la probabilité des réactions entre atomes de matière et atomes de lumière est en chaque point liée à la résultante (ou plutôt à la valeur moyenne de celle-ci) d'un des vecteurs caractérisant l'onde de phase», le «postulat» que «l'onde de phase liée au mouvement d'un atome de lumière peut en passant sur des atomes matériels excités, déclencher l'émission d'autres atomes de lumière dont la phase sera en accord avec celle de l'onde» et exprime l'accord entre sa conception de la lumière et «loi des fréquences de Bohr : h. ν = W1 − W2.»

La diffusion des rayons X

De Broglie désire «étudier la diffusion des rayons X et γ, et montrer sur cet exemple spécifiquement suggestif la position respective actuelle de la théorie électromagnétique et de celle des quanta de lumière»
Il débute «par définir le phénomène même de la diffusion : quand on envoie un faisceau de rayons sur un morceau de matière, une partie de l'énergie en est , généralement, éparpillée dans l'ensemble des directions. On dit qu'il y a diffusion et affaiblissement par diffusion du faisceau au cours de la traversée de la substance.»
Puis il passe en revue les diverses lois de la diffusion de la lumière et en particulier des rayons X :

Puis Louis de Broglie annonce «on peut généraliser la théorie de Compton-Debye en considérant la diffusion d'un quantum de radiation par un électron en mouvement.», et , tenant compte de la fréquence de l'onde de phase pour le quanta de lumière, trouve une loi de diffusion incluant la loi de Compton et un effet Doppler, concluant qu'il «n'est pas impossible que certaines des conclusions ci-dessus énoncées puissent être soumises à une vérification expérimentale».

La mécanique statistique et les quanta

Louis de Broglie rappelle «une démonstration bien connue de l'expression analytique des grandeurs thermodynamiques, démonstration qui a l'avantage d'être valable autant lorsque la suite des états envisageables est discontinue que dans le cas inverse», soulignant que «le théorème de Liouville (valable aussi dans la dynamique de la relativité) nous apprend que l'élément d'extension en phase d'une molécule identique à dxdydzdpdqdr (où x, y et z sont les coordonnées, p, q, r les moments correspondants) est un invariant des équations du mouvement dont la valeur est indépendante du choix des coordonnées», puis admettant «que le nombre des états d'égale probabilité représentés par un élément de cette extension en phase était proportionnel à la grandeur de ce dernier», «ceci conduit immédiatement à la loi de répartition de Maxwell». Louis de Broglie rappelle ensuite que M. Planck a énoncé «l'hypothèse suivante quelque peu déconcertante : L'extension en phase d'une molécule est divisée en cellules d'égale probabilité dont la valeur est finie et identique à h3» pour aboutir aux identiqueités donnant l'énergie et l'entropie du dispositif thermodynamique selon ses caractéristiques.

Puis Louis de Broglie reprend la démonstration en y introduisant les ondes de phase «formant des dispositifs stationnaires (c'est-à-dire résonant sur les dimensions de l'enceinte)», «comme dans la conception du rayonnement noir développée par M. Jeans», ce qui est envisageable car «au cours de la durée du libre parcours [d'un atome dans son environnement], l'onde de phase peut parcourir plusieurs fois la longueur d'un récipient même de grande dimension» du fait que sa particulièrement grande vitesse (supérieure à la vitesse limite de l'énergie). Démontrant l'égalité λ = h / (mv) , utilisant les vitesses de phase et de groupe, Louis de Broglie fait aboutir ses calculs à une formulation du «nombre [d'atomes] qui sont contenus dans l'élément de volume dxdydz et dont l'énergie cinétique est comprise entre w et w+dw» qui lui permet d'écrire «Nous justifions par conséquent l'hypothèse de M. Planck et , par suite, les résultats obtenus par ce savant et exposés plus haut».

Louis de Broglie cherche ensuite à appliquer ces résultats à un «gaz d'atomes de lumières», mais conclut cet essai par ces mots : «Malheureusement, la loi ainsi obtenue est la loi de Wien qui est uniquement le premier terme de la série qui forme la loi expérimentalement exacte de Planck. Ceci ne doit pas nous surprendre car, en supposant les mouvements des atomes de lumière totalement indépendants, nous devons obligatoirement parvenir à une loi dont le facteur exponentiel est semblable à celui de la loi de Maxwell.»
Louis de Broglie poursuit : «Pour retrouver le résultat de Planck, il faudra par conséquent faire ici une nouvelle hypothèse (... ) sans nous éloigner de la conception des quanta de lumière», à savoir «Si deux ou plusieurs atomes ont des ondes de phase qui se superposent précisément dont on peut dire par suite qu'ils sont transportés par la même onde, leurs mouvements ne pourront plus être reconnus comme entièrement indépendants et ces atomes ne pourront plus être traités comme des unités différentes dans les calculs de probabilité». «Cette hypothèse de cohérence nous oblige à reprendre entièrement la démonstration de la loi de Maxwell. Comme nous ne pouvons plus prendre chaque atome comme «objet» de la théorie générale, ce sont les ondes de phase stationnaires élémentaires qui doivent jouer ce rôle» rédigé de Broglie, avant d'aboutir à la forme de Planck après de quelques calculs utilisant cette hypothèse.
Puis, de Broglie retrouve la loi de Planck des «fluctuations d'énergie dans un volume V de rayonnement noir», ce qui lui sert à conclure «on peut aussi évaluer correctement les fluctuations du rayonnement noir en ne faisant aucunement appel à la théorie des interférences, mais en introduisant la cohérence des atomes liés à une même onde de phase».

Appendice sur les quanta de lumière

Dans cet appendice, Louis de Broglie revient sur la conception des «atomes de lumière comme de petits centres d'énergie caractérisés par une masse propre particulièrement faible m0 et animés de vitesse le plus souvent particulièrement voisines de c, de telle façon qu'il existe entre la fréquence ν, la masse propre m0 et la vitesse \beta = \frac{v}{c} la relation :» h \nu = \frac{m_0cˆ2}{\sqrt{1- \beta ˆ2}}, ce qui amenant \beta = \sqrt{1-\frac{m_0cˆ2}{h \nu}} donne une vitesse nulle, voir imaginaire suivant les valeurs de la fréquence ν.
Pour lever cette objection, Louis de Broglie rappelle le succès dans la présente thèse en «concevant l'existence d'ensembles d'atomes de lumière liés à la propagation d'une même onde de phase», et poursuit, plus loin, «nous pourrions peut-être supposer que la masse des centres d'énergie liés à une même onde diffère de la masse propre m0 d'un centre isolé et dépend du nombre d'autres centres avec lesquels ils se trouvent en interaction. On aurait alors : μ0 = f (p) avec, f (1) = m0 en désignant par p le nombre des centres portés par l'onde», ce qui lui sert à conclure que «La vitesse de la totalité des p centres formant une onde serait alors :» \beta = \sqrt{1-\frac{f(p)cˆ2}{h \nu}}, avec quelques propriétés supplémentaire sur la fonction f servant à lever l'objection.
«L'hypothèse précédente détruit légèrement la simplicité de la conception du «quantum de lumière», mais cette simplicité ne peut sans doute pas être entièrement conservée si on veut pouvoir raccorder la théorie électromagnétique avec la discontinuité révélée par les phénomènes photoélectriques.» rédigé de Broglie, avant de conclure «Il faut avouer que la structure réelle de l'énergie lumineuse reste toujours particulièrement mystérieuse.»

Conclusion

Après avoir rappelé les différents points qu'il a développé dans sa thèse, et appelant de ses vœux «une théorie électromagnétique nouvelle conforme naturellement au principe de Relativité, rendant compte de la structure discontinue de l'énergie radiante et de la nature physique des ondes de phase», Louis de Broglie conclut : «La présente théorie doit par conséquent plutôt être reconnue comme une forme dont le contenu physique n'est pas entièrement précisé que comme une doctrine homogène définitivement constituée.»

Voir aussi

Références

  1. ↑ (fr) thèse de 1924,
  2. ↑ (en) Broglie, Louis de , The wave nature of the electron, Nobel Lecture, December 12, 1929
  3. ↑ En francais : sur la constitution des atomes et molécules.
  4. ↑ Einstein à Langevin. 16 décembre 1924. Einstein Archive, Jerusalem
  5. ↑ Le dualisme des ondes et corpuscules dans l'œuvre d'Albert Einstein. L. de Broglie, 1955
  6. ↑ (fr) note de 1923, présentée par Jean Perrin

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