Mécanique matricielle

La mécanique matricielle est une formulation de la mécanique quantique construite par Werner Heisenberg, Max Born, et Pascual Jordan en 1925.

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Mécanique quantique - Physique quantique - Concept fondamental de la physique

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La mécanique matricielle est une formulation de la mécanique quantique construite par Werner Heisenberg, Max Born, et Pascual Jordan en 1925.
La mécanique matricielle est la première définition complète et correcte de la mécanique quantique. Elle prolonge le modèle de Bohr en décrivant la manière dont se produisent les sauts quantiques, en interprétant les propriétés physiques des particules comme des matrices évoluant dans le temps. Cette description est équivalente à la formulation en termes d'ondes de Schrödinger de la mécanique quantique, et est la base de la notation bra-ket de Paul Dirac pour la fonction d'onde.

Développement de la mécanique matricielle

En 1925, Werner Heisenberg, Max Born, et Pascual Jordan formulèrent la description par mécanique matricielle de la mécanique quantique.

Début à Heligoland

En 1925, Werner Heisenberg travaillait, à Göttingen, sur le problème du calcul des raies spectrales de l'hydrogène. Courant mai 1925, W. Heinsenberg avait commencé à décrire les dispositifs atomiques en termes d'observables exclusivement. Le 7 juin, afin d'échapper aux symptômes d'une mauvaise crise de rhinite allergique, W. Heisenberg partit pour l'île d'Heligoland en Mer du Nord, d'où le pollen est presque absent. Une fois là-bas, entre l'escalade et l'apprentissage par cœur des poèmes issus du Divan occidental-oriental de Gœthe, il continua à réfléchir au problème spectral et réalisa probablement que l'utilisation d'observables non-commutatives pourraient le résoudre, et il écrivit plus tard^[1] : «Il était à peu près trois heures du matin quand la solution aboutie du calcul m'apparut. Je fus dans un premier temps profondément secoué. J'étais si excité que je ne pouvais songer à dormir. J'ai par conséquent quitté la maison et attendu l'aube au sommet d'un rocher.».

Les trois articles

Après son retour à Göttingen, Werner Heisenberg montra à Wolfgang Pauli ses calculs, commentant son point de vue^[2] : «tout est toujours vague et flou pour moi, mais il semble que les électrons ne se déplacent plus sur des orbites». Le 9 juillet, W. Heinsenberg donna le même article à Max Born, lui indiquant : «qu'il avait rédigé un article incroyable et qu'il n'osait pas l'envoyer pour publication, et que Born devrait le lire et lui donner son avis sur ce dernier» avant publication. Werner Heisenberg partit ensuite pour un temps, laissant Max Born analyser l'article^[3].

Dans l'article, Werner Heisenberg formula la théorie quantique sans utiliser d'orbites électroniques fines. Hendrik Kramers avait jusque là calculé les intensités relatives des raies spectrales dans le modèle de Sommerfeld en interprétant les cœfficients de Fourier des orbites comme des intensités. Mais sa réponse, comme l'ensemble des autres calculs dans l'ancienne théorie quantique, n'étaient correctes que pour des grandes orbitales.

Werner Heisenberg, après une collaboration avec Kramers, commença à comprendre que les probabilités de transition n'étaient ni des quantités presque classiques, parce que les seules fréquences qui apparaissent dans les séries de Fourier devraient être celles qui sont observées dans les sauts quantiques, ni les quantités fictives provenant de l'analyse de Fourier des orbites fines classiques. Il remplaça les séries de Fourier classiques par une matrice de cœfficients, une sorte d'analogue quantique des séries de Fourier. En physique classique, les cœfficients de Fourier donnent l'intensité de la radiation émise, par conséquent en mécanique quantique, les valeurs des éléments de matrice sont identifiés aux intensités des raies spectrales.

Les quantités de la formulation d'Heisenberg sont la position et la quantité de mouvement classiques, mais ils n'y sont plus définis de manière précise désormais. Chaque quantité était représentée par des cœfficients de Fourier à deux indices, correspondant aux états d'origine et final^[4]. Quand Max Born lut cet article, il reconnut la formulation comme étant transposable et extensible au langage systématique des matrices^[5], qu'il avait appris lors de son étude avec Jakob Rosanes^[6] à l'université de Wrocław. Max Born, aidé de son assistant et ancien étudiant Pascual Jordan, commença immédiatement la transposition et l'extension, et ils soumirent leurs résultats à publication ; l'article fut admis à la publication tout juste 60 jours après celui d'Heisenberg^[7]. Un article continuant ce travail fut soumis à publication avant la fin de l'année par les trois auteurs ensemble^[8] (un bref aperçu du rôle de Max Born dans le développement de la formulation matricielle de la mécanique quantique avec une discussion de la formule-clé impliquant la non-commutativité des amplitudes de probabilité peut être vu dans un article de Jeremy Bernstein^[9]). Un compte-rendu détaillé historique et technique peut être consulté dans le livre de Mehra et Rechenberg The Historical Development of Quantum Theory. Volume 3. The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925–1926. ^[10].

Jusqu'à ce moment, les matrices étaient rarement utilisées par les physiciens, étant reconnues comme appartenant aux mathématiques pures. Gustav Mie les avait utilisé dans un article sur l'électrodynamique en 1912 et Max Born les avait employé dans son travail sur la théorie des réseaux cristallins en 1921. Tandis que les matrices étaient utilisées pour ces domaines, l'algèbre matricielle avec ses multiplications ne correspondait pas à la description qu'ils avaient fait dans la formulation matricielle dans la mécanique quantique^[11]. Born, cependant, avait appris l'algèbre matricielle avec Rosanes, comme indiqué auparavant, mais avait aussi appris la théorie de Hilbert sur les équations intégrales et formes quadratiques pour un nombre illimité de variables comme il en ressort d'une citation de Born sur le travail de Hilbert Grundzüge einter allgemeinen Theroire der Linearen Integralgleichungen publié en 1912^[12]^,^[13]. Jordan était aussi apte pour cette tâche. Pendant un certain nombre d'années, il a été l'assistant de Richard Courant à Göttingen pour la préparation du livre de Courant et Hilbert Methoden der mathematischen Physik I, publié en 1924^[14]. Ce livre, de manière fortuite, contenait une grande partie des outils mathématiques nécessaires pour le développement continu de la mécanique quantique^[15]^,^[16].

Le raisonnement d'Heisenberg

Avant l'énoncé de la mécanique matricielle, la théorie quantique décrivait le mouvement d'une particule par une orbite classique $X (t), P (t)$ avec la restriction que l'intégrale temporelle sur une période T de la quantité de mouvement par la vitesse doit être un multiple entier positif de la constante de Planck :

$\int_0ˆT P dX = n h$

Tandis que cette restriction sélectionne correctement les orbites avec plus ou moins les bonnes valeurs d'énergie $E n$ , le formalisme de l'ancienne théorie quantique ne décrivait pas les processus dépendants du temps, comme l'émission ou l'absorption de radiation.

Lorsque une particule classique est faiblement couplée à un champ radiatif, l'amortissement radiatif pouvant ainsi être négligé, il émet une radiation dans un motif se répétant à chaque période d'orbitale. Les fréquences construisant l'onde émise sont par conséquent des multiples entiers de la fréquence d'orbitale, ce qui est le reflet du fait que X (t) est périodique, la représentation de Fourier n'ayant par conséquent que des fréquences $2π n / T$ exclusivement.

$X(t) = \sum_{n=-\infty}ˆ\infty eˆ{2\pi i nt \over T} X_n$

Les cœfficients $X n$ sont des nombres complexes. Ceux à fréquences négatives doivent être les complexes conjugués de ceux à fréquences positives, de telle façon à ce que X (t) soit toujours réel,

$X_n = X_{-n}ˆ*$ .

Une particule mécanique quantique, d'un autre côté, ne peut émettre de radiation continument, et peut uniquement émettre des photons. Si on suppose que la particule quantique originellement dans l'orbite n, émettant un photon, puis aboutissant dans l'orbite m, l'énergie du photon est $E n - E m$ , ce qui veut dire que sa fréquence est $(E n - E m) / h$ .

Pour de grands n et m, mais avec une différence n-m assez faible, le principe de correspondance de Bohr :

$E_n-E_m \approx h(n-m)/T$ .

Dans la formule ci-dessous, T est la période classique soit de l'orbite classique n ou de l'orbite m, la différence entre elles étant d'ordre plus élevé en h. Mais pour de petits n et m, ou si $n - m$ est important, les fréquences ne sont plus des multiples entiers d'une simple fréquence.

Les fréquences émises par la particule étant les mêmes que les fréquences dans la description de Fourier de son mouvement, cela suggère que quelque chose dans la description en dépendance temporelle de la particule oscille avec la fréquence $(E n - E m) / h$ . Werner Heisenberg a nommé cette quantité $X n m$ , et postula qu'il pourrait être réduit aux cœfficients de Fourier dans les limites classiques. Pour des valeurs importantes de n et m, mais avec n-m assez faible, $X n m$ est le (n-m) ^e cœfficient de Fourier du mouvement classique à l'orbite n. $X n m$ étant de fréquence opposée à $X m n$ , la condition pour que X soit réelle devient :

$X_{nm}=X_{mn}ˆ*$ .

Par définition, $X n m$ seul possède la fréquence $(E n - E m) / h$ , par conséquent son évolution temporelle est simple :

$X_{nm}(t) = eˆ{2\pi i(E_n - E_m)t/h} X_{nm}(0)$ .

C'est la forme originale de l'équation du mouvement d'Heisenberg.

Étant données deux matrices $X n m$ et $P n m$ décrivant deux quantités physiques, Heisenberg pouvait alors construire une nouvelle matrice du même type en combinant les termes $X n k P k m$ , oscillant aussi avec la fréquence correcte. Les cœfficients de Fourier du produit des deux quantités étant la convolution des cœfficients de Fourier pris chacun scindément, la correspondance avec les séries de Fourier permit à Heisenberg de déduire la règle de multiplication des matrices :

$(XP)_{mn} = \sum_{k=0}ˆ\infty X_{mk} P_{kn}$ .

Born souligna que c'est la règle de multiplication de l'algèbre matricielle, ce qui veut dire que la position, le moment, l'énergie et l'ensemble des quantités observables dans la théorie peuvent être interprétées en termes de matrices. À cause de la règle de multiplication, le produit dépend de son ordre : XP peut être différent de PX (non-commutativité).

La matrice X est une description complète du mouvement d'une particule quantique. Les fréquences du mouvement quantique n'étant pas des multiples d'une fréquence commune, les éléments de matrice ne peuvent être interprétés en termes de cœfficients de Fourier d'une trajectoire classique clairement définie. Néanmoins, comme matrices, $X (t)$ et $P (t)$ satisfont aux équations classiques du mouvement.

Développement ultérieur

Quand elle fut introduite par Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan en 1925, la mécanique matricielle ne fut pas immédiatement acceptée et fut source de controverse importante. Le concept plus tardif de fonction d'onde présenté par Schrödinger lui était préféré.

Une des raisons de cette méfiance était que la formulation d'Heisenberg se faisait dans le langage des matrices, peu familier aux physiciens à l'époque, tandis que la formulation de Schrödinger se basait sur des équations d'ondes, bien mieux connues. Mais il existait aussi une raison sociologique plus profonde. La mécanique quantique avait été développée par deux voies différentes, une sous la direction d'Albert Einstein et l'autre sous la direction de Niels Bohr (dite École de Copenhague). Le premier mettait l'accent sur la dualité onde-corpuscule, tandis que le second s'attachait plutôt aux états d'énergie discrets ainsi qu'aux sauts quantiques. Louis de Broglie avait montré comment reproduire les états discrets d'énergie dans le formalisme d'Einstein dans laquelle la condition quantique est intrinsèque à la condition ondulatoire, et cela laissait penser aux tenants de l'école d'Einstein que l'ensemble des aspects discrets de la mécanique quantique pouvaient se fondre dans la continuité de la mécanique ondulatoire.

La mécanique matricielle, d'un autre côté, était issue de l'école de Bohr. Les tenants de Bohr n'appréciaient pas les modèles physiques décrivant les électrons comme des ondes, ou quoi que ce soit de ressemblant, préférant s'attacher aux quantités directement liées aux expériences.

En physique atomique, la spectroscopie produisait des données observables sur les transitions atomiques dues aux interactions entre atomes et quanta de lumière. L'école de Bohr indiquait que seules ces quantités qui étaient habituellement mesurables par spectroscopie devaient apparaître dans la théorie. Ces quantités incluent les niveaux énergétiques et leurs intensités mais pas la localisation exacte d'une particule dans son orbite de Bohr. Il est particulièrement complexe d'imaginer une expérience qui pourrait déterminer si un électron dans l'état essentiel d'un atome d'hydrogène est à la droite ou à la gauche du noyau. Le fait que de telles questions ne pouvaient se voir apporter de réponse était une conviction profonde.

La formulation matricielle fut construite sur la prémisse que l'ensemble des observables physiques sont représentables par des matrices dont les éléments sont indexés par deux niveaux d'énergie différents. La totalité des valeurs propres de la matrice pouvait aussi être compris comme la totalité de l'ensemble des valeurs envisageables des observables. Les matrices d'Heisenberg étant hermitiennes, les valeurs propres sont réelles.

Si une observable est mesurée et que le résultat est une des valeurs propres, le vecteur propre correspondant est l'état du dispositif immédiatement après la mesure. L'action de mesure en mécanique matricielle «fait s'effondrer» l'état du dispositif. Si on mesure deux observables simultanément, l'état du dispositif devrait s'effondrer vers un vecteur propre commun aux deux observables. La majorité des matrices n'ayant pas de vecteur propre commun, la majorité des observables ne peuvent être mesurée en même temps : cela forme le principe d'incertitude.

Si deux matrices partagent leurs vecteurs propres, elles peuvent être diagonalisées simultanément. Dans les bases dans lesquelles elles sont simultanément diagonales, leur produit ne dépend pas de l'ordre de multiplication, le produit de matrices diagonales se résumant à un produit de nombres. Le principe d'incertitude est par conséquent une conséquence de la non-commutativité du produit de deux matrices A et B, AB-BA n'étant pas obligatoirement la matrice nulle. La fameuse relation de commutation de la mécanique matricielle :

$\sum_k ( q_{nk} p_{km} - p_{nk} q_{km}) = {ih\over 2\pi} \delta_{nm}$

montre qu'il n'y a pas d'états ayant simultanément une position et une quantité de mouvements définies. Mais le principe d'incertitude (aussi nommé complémentarité par Bohr) est valable pour la majorité des autres paires d'observables. Ainsi par exemple, l'énergie ne commute pas avec la position non plus, il est par conséquent impossible de déterminer exactement à la fois la position et l'énergie d'un électron dans un atome.

Prix Nobel

En 1928, Albert Einstein avait proposé Heisenberg, Born, et Jordan pour le prix Nobel de physique^[17], mais cela n'aboutit pas. L'annonce du prix Nobel de 1932 fut différée jusqu'en novembre 1933^[18] : Heisenberg en fut le lauréat de 1932 «pour la création de la mécanique quantique, l'application de laquelle ayant, inter alia, conduit à la découverte de la forme allotropique de l'hydrogène»^[19] tandis qu'Erwin Schrödinger et Paul Dirac furent les lauréats de l'édition 1933 pour la «découverte de nouvelles formes productives de la théorie atomique». On peut cependant se poser la question suivante : pourquoi Born ne fut pas lauréat du prix en 1932 aux côtés d'Heisenberg ? Bernstein apporte quelques spéculations sur ce fait. L'une d'entre elles est le fait que Jordan rejoignit le parti nazi le 1^er mai 1933 et devint SA^[20]. Cet engagement et le lien de Jordan avec Born auraient alors compromis les chances de ce dernier. Bernstein indique aussi que quand Born obtint le prix Nobel en 1954, Jordan était toujours vivant, et que ce prix fut décerné pour l'interprétation statistique de la mécanique quantique, attribuée au seul Born^[21].

La réaction d'Heisenberg envers Born quand il reçut le prix en 1932 et celle quand Born reçut le prix en 1954 sont aussi instructives sur le fait que Born aurait dû recevoir le prix Nobel avec Heisenberg en 1932. Le 25 novembre 1933, Born reçut une lettre de Heisenberg dans laquelle il disait avoir attendu pour l'écrire en raison d'«mauvaise conscience» due au fait qu'il avait reçu seul le prix «pour un travail effectué à Göttingen en collaboration – vous, Jordan et moi». Heisenberg en vint à indiquer que la contribution de Born et Jordan à la mécanique quantique ne pouvait être changée par «une mauvaise décision extérieure»^[22]. En 1954, Heisenberg écrivit un article honorant Max Planck pour sa sagacité en 1900. Dans l'article, Heisenberg créditait Born et Jordan pour la formulation mathématique finale de la mécanique matricielle et appuya sur l'importance de leurs contributions à la mécanique quantique, qui ne furent pas «reconnue de manière correcte par le grand public»^[23].

Développement mathématique

Une fois qu'Heisenberg eut introduit les matrices pour X et P, il put indiquer les éléments de matrice dans des cas spéciaux par intuition, guidé par le principe de correspondance. Les cœfficients de matrice sont les analogues en mécanique quantique des cœfficients de Fourier des orbites classiques, le cas le plus simple étant l'oscillateur harmonique, dans lequel X (t) et P (t) sont sinusoïdales.

Oscillateur harmonique

Dans les unités dans lesquelles masse et fréquence de l'oscillateur sont identiques à un, l'énergie de l'oscillateur est :

$H = {1 \over 2} (Pˆ2 + Xˆ2)$

Les lignes de niveau de H sont les orbites, des cercles concentriques. L'orbite classique d'énergie E est :

$X(t)= \sqrt{2E}\cos(t) \;\;\;\; P(t) = \sqrt{2E}\sin(t)$

La vieille condition quantique indique que l'intégrale de P selon X sur une orbite, qui est l'aire de la surface du cercle dans l'espace des phases, doit être un multiple entier de la constante de Planck. L'aire du disque de rayon est, soit :

$E = {n h \over 2\pi}$

ou, en unités de longueur où est l'unité, l'énergie est un entier.
Les cœfficients de Fourier de X (t) et P (t) sont particulièrement simples, en particulier si elles sont combinés dans les quantités :

$A(t) = X(t) + i P(t) = \sqrt{2E}\,eˆ{it}$

$Aˆ\dagger(t) = X(t) - i P(t) = \sqrt{2E}\,eˆ{-it}$

les deux quantités et ont uniquement une seule fréquence, et $X$ et $P$ peuvent être déduites de leur somme et de leur différence.

$A (t)$ étant une série de Fourier classique avec uniquement la plus basse fréquence, et l'élément de matrice $A m n$ étant le (m-n) ^e cœfficient de Fourier de l'orbite classique, la matrice de est non nulle uniquement sur la ligne juste au-dessus de la diagonale, où il est identique à. La matrice de est identique, non nulle uniquement sur la ligne en dessous de la diagonale, avec les mêmes éléments. En reconstruisant X et P à partir de et :

$\sqrt{2} X(0)= \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \ldots \\ \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \sqrt{4} & \ldots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots \\ \end{bmatrix}$

$\sqrt{2} P(0) = \begin{bmatrix} 0 & i\sqrt{1} & 0 & 0 & \ldots \\ -i\sqrt{1} & 0 & i\sqrt{2} & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & -i\sqrt{2} & 0 & i\sqrt{3} & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & -i\sqrt{3} & 0 & i\sqrt{4} & \ldots\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots \\ \end{bmatrix}$

qui, au choix des unités près, sont les matrices d'Heisenberg pour l'oscillateur harmonique. Notons que les deux matrices sont hermitiennes, étant construites à partir des cœfficients de Fourier de quantités réelles. Obtenir $X (t)$ et $P (t)$ est simple, en utilisant les cœfficients de Fourier quantiques avec une évolution simple avec le temps.

$X_{mn}(t) = X_{mn}(0) eˆ{i(E_m - E_n)t} \;\;\;\; P_{mn}(t) = P_{mn}(0) eˆ{i(E_m -E_n)t}$

Le produit matriciel de $X$ et $P$ n'est pas hermitien, mais possède une partie réelle et une partie imaginaire. La partie réelle est une moitié de l'expression symétrique $(X P + P X)$ , tandis que la partie imaginaire est proportionnelle au commutateur $[X, P] = (X P - P X)$ . Il est facile de vérifier de manière explicite que $(X P - P X)$ dans le cas de l'oscillateur harmonique est i, multiplié par l'identité.

$H ={1\over 2}(Xˆ2 + Pˆ2)$

est une matrice diagonale, avec pour valeurs propres E_i.

Conservation de l'énergie

L'oscillateur harmonique est particulièrement spécifique. Il est assez simple d'écrire les matrices de manière exact, mais particulièrement complexe de découvrir les conditions générales pour ces formes spécifiques. Pour cette raison, Heisenberg a étudié l'oscillateur anharmonique, avec l'hamiltonien :

$H = {1\over 2} Pˆ2 + {1\over 2} Xˆ2 + \epsilon Xˆ3$

Dans ce cas, les matrices X et P ne sont plus des matrices hors diagonales, les orbites classiques correspondantes sont un peu écrasées et déplacées, et possède des cœfficients de Fourier à chaque fréquence classique. Pour déterminer les éléments de matrices, Heisenberg postula que les équations classiques du mouvement peuvent être reconnues comme des équations matricielles :

${dX \over dt} = P \;\;\;\;\;\;\;\; {dP \over dt} = - X - 3 \epsilon Xˆ2$

Il remarqua que si cela pouvait se faire, alors H reconnu comme une fonction matricielle de X et P, auront une dérivée temporelle nulle.

${dH\over dt} = P*{dP\over dt} + ( X + 3 \epsilon Xˆ2)*{dX\over dt} = 0$

où $A * B$ est un produit symétrique.

$A*B = {1\over 2}(AB+BA)$ .

Une matrice constant est la même comme matrice diagonale, car tout les éléments non diagonaux ont une fréquence non nulle, ce qui indique aussi que H est diagonale.
Il est clair pour Heisenberg que dans ce dispositif, l'énergie pouvait être conservée de manière exacte dans un dispositif quantique classique, signe particulièrement encourageant pour les développements ultérieurs.

Problème de la dissociation - relations de commutations canoniques

Imposer la préservation des équations du mouvement ne forme pas une condition suffisante pour déterminer les éléments de matrice. La constante de Planck n'apparait pas dans les équations classiques, ce qui implique que les matrices pourraient être construites pour de nombreuses valeurs différentes de et toujours satisfaire les équations du mouvement, mais pour différent niveaux d'énergie.
Pour pouvoir continuer son raisonnement, Heisenberg avait besoin d'utiliser l'ancienne condition quantique pour fixer les niveaux d'énergie, puis de remplir les matrices par les cœfficients de Fourier des équations classiques, et enfin de modifier un peu ces cœfficients de matrices et les niveaux d'énergie afin d'assurer la satisfaction aux équations classiques. Cela n'était pas satisfaisant à l'évidence. Les anciennes conditions quantiques font références à l'aire définie par les orbites fines classiques, qui n'existaient plus dans le nouveau formalisme.
Principale découverte d'Heisenberg est comment transformer l'ancienne condition quantique en simple postulat de la mécanique matricielle. Pour procéder à cette transformation, il étudia l'intégrale d'action comme une matrice quantité :

$\int_0ˆT \sum_k P_{mk}(t) {dX_{kn} \over dt} dt \approx ? J_{mn} \,$

Il existe plusieurs problèmes avec cette intégrale, provenant tous de l'incompatibilité du formalisme matriciel avec l'ancienne description en termes d'orbites. Quelle est la période T à considérer ? De manière semi-classique, cela devrait être m ou n, mais la différence est d'ordre h et on veut une réponse à cet ordre. La condition quantique indique que $J m n$ est identique à $2π n$ sur la diagonale, par conséquent le fait que J soit une constante de manière classique indique que les éléments non-diagonaux sont nuls.
Le progrès essentiel fut de dériver la condition quantique comparé à n. Cette idée ne prend son sens complet que dans la limite classique, où n n'est pas un entier mais la variable d'action J, mais Heisenberg fit des manipulations analogues avec les matrices, où les expressions intermédiaires sont quelquefois des différences discrètes et quelquefois des dérivées. Dans la discussion suivante, pour des raisons de clareté, la dérivation sera effectuée sur les variables classiques, puis la transition vers la mécanique matricielle sera faite grâce au principe de correspondance.
Dans le formalisme classique, la dérivée est la dérivée selon J de l'intégrale qui définit J, par conséquent identique à 1 de manière tautologique.

${d \over dJ } \int_0ˆT P dX = 1 \,$

$= \int_0ˆT {dp\over dJ} {dX\over dt} + p{d\over dJ}{dX\over dt} = \int_0ˆT {dp\over dJ} {dX\over dt} - {dp\over dt}{dX\over dJ} \,$

dans laquelle les dérivées dp/dJ dx/dJ devraient être interprétées comme des différences selon J sur des temps correspondants sur des orbites voisines, précisément ce qui serait obtenu en dérivant les cœfficients de Fourier du mouvement orbital. Ces dérivées sont symplectiquement orthogonales dans l'espace des phases aux dérivées temporelles dP/dt dX/dt. L'expression finale est clarifiée par l'introduction de la variable conjuguée canoniquement à J, nommée variable d'angle $θ$ . La dérivée selon le temps est une dérivée selon, à un facteur.

${2\pi\over T} \int_0ˆT dt \;\; {dp \over dJ} {dX\over d\theta} - {dP \over d\theta} {dX\over dJ} \,$

Ainsi l'intégrale de la condition quantique est la valeur moyenne sur un cycle du crochet de Poisson de X et P. Une différentiation analogue des séries de Fourier de PdX démontre que les éléments non-diagonaux du crochet de Poisson sont tous nuls. Le crochet de Poisson de deux variables conjuguées canoniquement comme X et P est la constante 1, par conséquent l'intégrale est en réalité est la valeur moyenne de 1, par conséquent 1, ce qu'on savait depuis le début (dJ/dJ=1). Mais Heisenberg, Born et Jordan n'étaient pas familiers avec la théorie des crochets de Poisson, par conséquent ils durent faire la dérivation {X, P} in coordonnées J $θ$ .
Le crochet de Poisson, au contraire de l'intégrale d'action, permet une translation simple vers la mécanique matricielle - à partir de la partie imagninaire du produit de deux variables, le commutateur. Pour le constater, on considère généralement le produit de deux matrices A et B dans la limite de correspondance, dans laquelle les éléments de matrice sont des fonctions de l'index variant doucement, en gardant à l'esprit que la réponse est classiquement zéro.

Dans la limite de correspondance, quand les indices m n sont grands et proches, quand k, r sont petits, le taux de modification des éléments de matrice dans la direction diagonale est l'élément de matrice de la dérivée de J de la quantité classique correspondante. On peut alors déplacer tout élément de matrice diagonalement en utilisant la formule :

$A_{(m+r) (n+r)} - A_{mn} \approx r\; \left({dA\over dJ}\right)_{m n} \,$

où le membre de droite est l'unique (m-n) ^e cœfficient de Fourier de (dA/dJ) sur une orbite proche de m à cet ordre semi-classique, qui n'est pas une matrice totalement et bien définie.
La dérivée temporelle semi-classique d'un élément de matrice est obtenu à un facteur i près en multipliant par la distance à la diagonale,

$ik A_{m (m+k)} \approx \left({T\over 2\pi} {dA\over dt}\right)_{m (m+k)} =\left({dA\over d\theta}\right)_{m (m+k)} \,$

le cœfficient $A m (m + k)$ étant classiquement le k^e cœfficient de Fourier de la m^e orbite classique.

La partie imaginaire du produit de A et B peut être évalué en déplaçant les éléments de matrice de manière à reproduire la réponse classique, qui est nulle. Le résidu non nul qui résulte est alors donné totalement par le déplacement. L'ensemble des éléments de matrice étant à des indices ayant une distance faible à la position de grand indice $(m, m)$ , cela permet l'introduction de deux notations temporaires : $A [r, k] = A (m + r) (m + k)$ , pour les matrices, et $(d A / d J) [r]$ pour les r^e cœfficients de Fourier des quantités classiques.

$(AB - BA)(0,k) = \sum_{r=-\infty}ˆ{\infty} ( A[0,r] B[r,k] - A[r,k] B[0,r] )$

$= \sum_r (\; A[-r+k,k] + (r-k){dA \over dJ}[r]\; ) (\; B[0,k-r] + r {dB\over dJ}[r-k] \; ) - \sum_r A(r,k)B(0,r) \,$

En changeant la variable de sommation dans la première somme r par r'=k-r, l'élément de matrice devient :

$\sum_{r'} (\;A[r',k] - r' {dA \over dJ}[k-r']\;)(\; B[0,r'] +(k-r'){dB\over dJ}[r']\;)- \sum_r A[r,k] B[0,r] \,$

et il clair que la partie principale s'annule. La partie quantique qui vient est , en négligeant le produit des dérivées d'ordre élevé :

$\sum_{r'} (\; {dB\over dJ}[r'](k-r')A[r',k] - {dA\over dJ}[k-r'] r' B[0,r'])$

$\sum_{r'} (\; {dB\over dJ}[r']i{dA\over d\theta}[k-r'] - {dA\over dJ}[k-r']i{dB\over d\theta}[r']) \,$

ce qui peut être identifié à i fois le k^e cœfficient de Fourier classique du crochet de Poisson. L'astuce originelle de la dérivation d'Heisenberg fut étendue à une dérivation complète semi-classique de la condition quantique en collaboration avec Born et Jordan.
Ils purent alors montrer que :

$[ X , P ] = XP - PX = i \{X,P\}_\mathrm{PB} = i \,$

cette condition remplaça et étendit l'ancienne règle de quantification, permettant aux éléments de matrice de P et X pour un dispositif arbitraire d'être déterminés simplement à partir de la forme du hamiltonien. La nouvelle règle de quantification fut postulée comme universellement vérifiée, même si sa déduction à partir de l'ancienne théorie quantique requérait un raisonnement semi-classique.

Vecteur d'état - mécanique quantique moderne

Pour faire la transition vers la mécanique quantique moderne, principal ajout qui s'ensuivit fut le vecteur d'état quantique, rédigé $| \psi \rangle$ , qui est le vecteur sur lequel agissent les matrices. Sans le vecteur d'état, il n'est pas évident d'indiquer quel mouvement surtout traite les matrices d'Heisenberg, car elles contiennent en fait l'ensemble des mouvements en un point.
L'interprétation du vecteur d'état, dont les composantes sont rédigées $ψ m$ , fut donnée par Born. Cette interprétation est statistique : le résultat de la mesure d'une quantité physique correspondant à la matrice A est aléatoire, avec une valeur moyenne identique à :

$\sum_{mn} \psi_mˆ* A_{mn} \psi_n$

De manière alternative et équivalente, le vecteur d'état donne la amplitude de probabilité $ψ i$ pour le dispositif quantique d'occuper l'état d'énergie i. Une fois le vecteur d'état introduit, la mécanique matricielle pouvait être adaptée à toute base, dans laquelle la matrice H n'est pas nécessairement diagonale. L'équation du mouvement d'Heisenberg dans sa forme originelle indique que $A m n$ évolue dans le temps comme un cœfficient de Fourier :

$A_{mn}(t) = eˆ{i(E_m - E_n)t} A_{mn} (0)$

qui peut être rédigé sous la forme différentielle :

${dA_{mn}\over dt} = i(E_m - E_n ) A_{mn}$

et il peut être réécrit de manière à être vérifié dans une base arbitraire en notant que la matrice H est diagonale avec pour cœfficients diagonaux $E m$ :

${dA\over dt} = i( H A - A H )$

Cela devient alors une équation matricielle, valable pour toute base. C'est la forme moderne de l'équation du mouvement d'Heisenberg. La solution formelle est :

$\, A(t) = eˆ{iHt} A(0) eˆ{-iHt}$

Toutes les formes de l'équation du mouvement ci-dessus signifient la même chose, que A (t) est identique à A (0) à une rotation de base près par la matrice unitaire $e i H t$ . Par rotation de la base pour le vecteur d'état à chaque instant par $e i H t$ , on peut lever la dépendance temporelle dans les matrices. Les matrices sont désormais indépendantes en temps, mais le vecteur d'état subit une rotation :

$| \psi(t) \rangle = eˆ{-iHt} | \psi(0) \rangle, \;\;\;\; {d |\psi \rangle \over dt} = - i H | \psi \rangle$

Il s'agit de l'équation de Schrödinger pour le vecteur d'état, et la transformation dépendante en temps de la base est sa transformation en représentation de Schrödinger.

En mécanique quantique, dans la représentation de Heisenberg, le vecteur d'état $| \psi \rangle$ n'évolue pas dans le temps, et l'observable A vérifie

$\frac{dA}{dt} = {i \over \hbar } [ H , A(t) ] + \frac{\partial A}{\partial t}$

Le terme supplémentaire est pour des opérateurs comme $A = (X + t 2 P)$ qui présentent une dépendance temporelle explicite en plus de la dépendance temporelle pour l'évolution unitaire. La représentation de Heisenberg ne distingue pas le temps de l'espace, ce qui est spécifiquement intéressant pour les théories relativistes.
De plus, la similitude à la physique classique est plus apparente : les équations hamiltoniennes du mouvement pour la mécanique classique sont reconstituées en remplaçant le commutateur ci-dessus par le crochet de Poisson.
Selon le théorème de Stone-von Neumann, les représentations d'Heisenberg et de Schrödinger sont unitairement équivalentes.

Résultats consécutifs

La mécanique matricielle évolua rapidement vers la mécanique quantique moderne, et donna des résultats physiques intéressants sur les spectres d'atomes.

Mécanique ondulatoire

Jordan avait noté que les relations de commutation font que p agit comme un opérateur différentiel, et parvint presque à formuler l'équation de Schrödinger.
L'identité :

$[a,bc] = abc - bca = abc - bac + bac - bca = [a,b]c + b[a,c] \,$

permet l'évaluation du commutateur de p avec une puissance quelconque de x, et cela implique que :

$[p,xˆn] = - i nxˆ{n-1} \,$

qui, par linéarité, implique à son tout qu'un commutateur p différentie tout fonction matricielle analytique de x. En postulant que les limites sont définies avec précision, cela couvre à des fonctions arbitraires, mais cette extension n'a pas besoin d'être conduite explicitement jusqu'à ce qu'un certain degré de rigueur mathématique soit requis.

$[p,f(x)] = -i f'(x) \,$

x étant une matrice hermitienne, elle doit être diagonalisable, et il est clair à partir de la forme éventuelle de p que tout nombre réel peut être une valeur propre. Cela participe de la subtilité mathématique, dans la mesure où il existe un vecteur propre différent pour chaque point de l'espace. Dans la base dans laquelle x est diagonale, un état arbitraire peut être rédigé comme une superposition d'états avec les valeurs propres x :

$|\psi\rangle = \int_x \psi(x)|x\rangle \,$

et l'opérateur x mutiplie chaque vecteur d'onde par x.

$<img class=$ ψ :

$D \int_x \psi(x) | x\rangle = \int_x \psi'(x) |x\rangle \,$

et en notant que :

$(D x - x D) |\psi\rangle = \int_x ( (x \psi(x))' - x \psi'(x) ) |x\rangle = \int_x \psi(x) |x\rangle = |\psi\rangle \,$

l'opérateur -iD obéit à la même relation de commutation que p. La différence entre p et -iD doit commuter avec x.

$[p+iD,x]=0 \,$

ce qui sert au diagonaliser simultanément à x : sa valeur agissant sur tout état propre de x est une fonction f de la valeur propre x. Cette fonction doit être réelle, p et -iD étant hermitiens :

$(p+iD ) |x\rangle = f(x) |x\rangle \,$

Chaque état |x> étant décalé d'une phase f (x), cela conduit à , en redéfinissant la phase de la fonction d'onde :

rotating each state |x> by a phase f (x), that is, redefining the phase of the wavefunction :

$\psi(x) \rightarrow eˆ{-if(x)} \psi(x) \,$

l'opérateur iD est redéfini par :

$iD \rightarrow iD + f(x) \,$

ce qui veut dire que dans une base ayant subi une rotation, p est identique à -iD. Il y a par conséquent toujours une base pour les valeurs propres de x où l'action de p sur n'importe quelle fonction d'onde est connue :

$p \int_x \psi(x) |x\rangle = \int_x - i \psi'(x) |x\rangle \,$

et le hamiltonien dans cette base est un opérateur différentiel linéaire sur les composants du vecteur d'état :

$({pˆ2\over 2m} + V(x) ) \int_x \psi_x |x\rangle = \int_x (-{1\over 2m}{\partialˆ2 \over \partial xˆ2} + V(x)) \psi_x |x\rangle$

L'équation du mouvement pour le vecteur d'état est l'équation différentielle :

$i{\partial \over \partial t} \psi_t(x) = (-{1\over 2m} {\partialˆ2 \over \partial xˆ2} + V(x)) \psi_t(x) \,$

D étant un opérateur différentiel, il doit exister des valeurs propres de x au voisinage de toute valeur donnée pour le définir de manière précise. Cela suggère que l'unique possibilité est que l'espace des valeurs propres de x soit un espace réel, et que p soit identifié à iD à la rotation près. Afin d'être formulé rigoureusement, cela nécessite uen discussion approfondie sur l'espace limite des fonctions. Dans cet espace, le théorème de Stone-von Neumann s'applique : tous opérateurs x et p qui obéissent à des relations de commutations peuvent être fabriqués pour agir sur l'espace des fonctions d'ondes, p étant un opérateur de dérivation. Cela implique qu'une représentation de Schrödinger est toujours envisageable.
Au contraire de l'approche de Schrödinger, la mécanique matricielle peut être étendue à l'ensemble des degrés de liberté de manière assez simple. Chaque degré de liberté possède un opérateur x différent et un opérateur p différent, et la fonction d'onde est une fonction de l'ensemble des valeurs propres envisageables des variables x indépendantes et commutatives.

$[X_i ,X_j ] = 0 \,$

$[P_i, P_j ] = 0 \,$

$[X_i ,P_j ] = i\delta_{ij} \,$

Cela veut dire surtout qu'un dispositif de N particules interagissantes en 3 dimensions est décrit par un vecteur dont les composantes dans une base où l'ensemble des X sont diagonaux est une fonction mathématique d'un espace de dimension 3N qui décrit l'ensemble des positions envisageables, ce qui est un ensemble de valeurs énormément plus important que N fonctions d'ondes tridimensionnelles dans un espace physique. Schrödinger parvint à la même conclusion de manière indépendante, et prouva ensuite l'équivalence entre son formalisme et celui d'Heisenberg.
La fonction d'onde étant une propriété du dispositif dans son ensemble, et non d'une partie quelconque, la description en mécanique quantique n'est pas entièrement locale. La description de plusieurs particules peut être corrélée quantiquement, ou intriquée. Cette intrication conduit à des corrélations «étranges» entre particules distantes qui violent l'inégalité de Bell classique. Même si les particules peuvent occuper uniquement deux positions, la fonction d'onde pour N particules nécessite 2^N nombres complexes, un pour chaque configuration de positions, soit un nombre exponentiel en N de nombres. Simuler des dispositifs quantiques numériquement nécessite par conséquent des ressources particulièrement importantes. Cela suggère aussi qu'il pourrait être envisageable de trouver un dispositif quantique de taille N qui calcul de manière physique les solutions aux problèmes requérant 2^N bits pour être résolus, ce qui est une des motivations de recherche sur l'ordinateur quantique.

Théorie de la transformation

En mécanique classique, une transformation canonique des coordonnées de l'espace des phases est une tranformation qui conserve la structure des crochets de Poisson. Les nouvelles variables x'et p'ont tous deux les mêmes crochets de Poisson que les variables originales x et p. L'évolution temporelle est une transformation canonique, l'espace de phase pour tout instant étant juste un choix approprié de variables comme pour un espace de phase à tout autre instant.
Le flux hamiltonien est par conséquent la transformation canonique canonique :

$x\rightarrow x+dx = x + {\partial H \over \partial p} dt$

$p \rightarrow p+dp = p -{\partial H \over \partial x} dt$

Le hamiltonien pouvant être une fonction arbitraire de x et p, il existe des transformations canoniques illimitétésimales correspondant à chaque quantité classique G, où G est utilisée comme hamiltonien pour générer un flux de points dans l'espace de phase pour un incrément temporel de s.

$dx = {\partial G \over \partial p} ds = \{ G,X \} ds \,$

$dp = -{\partial G \over \partial x} ds = \{ G,P \} ds \,$

Pour une fonction générique A (x, p) de l'espace de phase, le changement illimitétésimal à chaque pas ds sur la nappe est :

$dA = {\partial A \over \partial x} dx + {\partial A\over \partial p} dp = \{ A,G\} ds \,$

La quantité G est nommée générateur illimitétésimal pour la transformation canonique.

En mécanique quantique, G est une matrice hermitienne, et les équations du mouvement sont des commutateurs :

$dA = i [G,A] ds \,$

Les mouvements canoniques illimitétésimaux peuvent être intégrés formellement, de la même manière que l'équation du mouvement d'Heisenberg :

$A' = Uˆ{\dagger} A U \,$

où $U = e i G s$ et s sont des paramètres arbitraires. La définition d'une transformation canonique est une changement unitaire abritraire de base sur l'espace des vecteurs d'état. U est une matrice unitaire arbitraire, rotation complexe dans l'espace de phase.

$Uˆ{\dagger}= Uˆ{-1} \,$

Ces transformations laissent la somme du module au carré des composants de la fonction d'onde invariante, et transforme les états multiples les uns des autres (y compris les états multiples imaginaires les uns des autres) en états qui sont les mêmes multiples les uns des autres.

L'interprétation de ces matrices est qu'elles agissent comme générateurs de mouvements dans l'espace des états. Le mouvement généré par P peut être trouvé en résolvant l'équation du mouvement d'Heisenberg en utilisant P comme hamiltonien :

$dX = i[X,P] ds = ds \,$

$dP = i[P,P] ds = 0 \,$

Il existe des translations de la matrice X qui ajoute un multiple de l'identité : $X\rightarrow X+s$ . C'est aussi l'interprétation de l'opérateur de dérivation D $e i P s = e D$ , l'exponentielle d'un opérateur de dérivation étant une translation. L'opérateur X génère de façon identique des translations en P. Le hamiltonien génère des translations dans le temps, le moment angulaire génère des rotations dans l'espace physique, et l'opérateur $X 2 + P 2$ des rotations dans l'espace de phase.

Quand une transformation, comme une rotation dans l'espace physique, commute avec le hamiltonien, la transformation est nommée une symétrie. Le hamiltonien exprimé en termes de coordonnées de rotation est le même que le hamiltonien original. Cela veut dire que la modification du hamiltonien sous l'action du générateur illimitétésimal L est nulle :

${dH\over ds} = i[L,H] = 0 \,$

Il s'ensuit que la modification dans le générateur sous l'effet d'une translation temporelle est aussi nulle :

${dL\over dt} = i[H,L] = 0 \,$

La matrice L est par conséquent constante dans le temps. L'association des générateurs illimitétésimaux de symétrie un à un et les lois de conservation furent dans un premier temps découvertes par Emmy Nœther pour la mécanique classique, où les commutateurs sont des crochets de Poisson mais l'argument reste le même.

En mécanique quantique, une transformation de symétrie unitaire donne une loi de conservation, la matrice U ayant la propriété suivante :

$Uˆ{-1} H U = H \,$

Il s'ensuit que $U H = H U$ et que la dérivée temporelle de U est nulle.

Les valeurs propres des matrices unitaires sont des phases pures, ce qui implique que la valeur d'une quantité conservé unitairement est un nombre complexe de module unité, et non un réel. Une autre façon de le dire est qu'une matrice unitaire est l'exponentielle d'i fois une matrice hermitienne, ce qui implique que la quantité réelle additive conservée, la phase, n'est bien définie qu'à un multiple entier de 2π près. Les quantités réelles conservées ne sont à valeurs uniques que quand un matrice unitaire de symétrie fait partie d'une famille arbitrairement proche de l'identité, et la condition de conservation devient alors une contrainte plus précise.
Les symétries peuvent être continument connectées à l'identité sont nommées continues, et les translations, rotations et accélérations en sont des exemples. Les symétries qui ne peuvent être continument connectés à l'identité sont discrètes, et l'opération d'inversion spatiale, de parité et de conjugaison de charge en sont des exemples.
L'interprétation des matrices comme générateurs de transformations canoniques est due à Paul Dirac^[24]. La correspondance entre symétries et matrices fut démontrée par Eugene Wigner comme étant complète, si les matrices antiunitaires décrivant les symétries incluant le renversement du temps sont incluses.

Règles de sélection

Il fut évident pour Heisenberg que, physiquement, les modules au carré des éléments de matrice de X, cœfficients de Fourier de l'oscillation, correspondaient au taux d'émission de radiation électromagnétique.
Dans la limite classique des grandes orbites, si une charge de position X (t) et de valeur q oscille près d'une charge -q en position 0, de moment dipolaire instantané est qX (t), et la variation temporelle du moment se convertit directement en la variation spatiotemporelle du potentiel vectoriel, qui produit des ondes sphériques concentriques sortantes. Pour des atomes, la longueur d'onde de la lumière émise est d'environ 10 000 fois le rayon atomique, le moment dipolaire est l'unique contribution au champ radiatif et les autres «détails» de la distribution atomique de charge peuvent être ignorés.

En ignorant la rétroaction, la puissance irradiée dans chaque mode sortant est une somme de contributions différentes du module au carré de chaque mode de Fourier temporellement indépendant de d :

$P(\omega) = {2\over 3} {\omegaˆ4} |d_i|ˆ2 \,$

Et dans une représentation d'Heisenberg, les cœfficients de Fourier du moment dipolaire sont les éléments de matrice de X. La correspondance permit à Heisenberg d'établir une loi pour les intensités de transition, la fraction du temps pendant laquelle, à partir d'un état d'origine i, un photon est émis et l'atome «saute» vers l'état final j :

$P_{ij} = {2 \over 3} (E_i -E_j)ˆ4 |X_{ij}|ˆ2 \,$

Cela permet l'interprétation statistique de l'intensité des éléments de matrice : elles donnent les intensités des raies spectrales, probabilité pour les sauts quantiques d'émission de la radiation dipolaire. Les taux de transition étant données par les éléments de matrice de X, tout élément $X i j$ nul devrait impliquer une absence de transition. Ceci est nommé règle de sélection, et étaient particulièrement floues avant l'énoncé de la mécanique matricielle.

Un état arbitraire de l'atome d'hydrogène, sans prise en compte du spin, est symbolisé par |n;l, m>, où la valeur l est une mesure du moment angulaire orbital total et m est sont composant en z, qui définit l'orientation de l'orbitale.

Les composantes du pseudovecteur du moment angulaire sont :

$L_i = \epsilon_{ijk} xˆj pˆk \,$

et les produits dans cette expression sont indépendants de l'ordre et réels, car les différentes composantes de x et p commutent.

Les relations de commutation de L avec x (ou avec tout vecteur) sont simples à établir :

$[L_i, x_j] = i\epsilon_{ijk} x_k \,$

Cela vérifie que L génère des rotations entre les composantes du vecteur X.

À partir de là, le commutateur de L_z et des matrices de coordonnées x, y et z, peut être déduit :

$[L_z , x] = iy \,$

$[L_z,y] = -ix \,$

ce qui veut dire que les quantités x+iy et x-iy ont une règle de commutation simple :

$[L_z,x+iy] = (x+iy) \,$

$[L_z,x-iy] = -(x-iy) \,$

Comme pour les éléments de matrice de x+ip et x-ip pour le hamiltonien de l'oscillateur harmonique, cette loi de commutation indique que ces opérateurs possèdent uniquement quelques éléments non-diagonaux dans les états pour un m défini :

$L_z ( (x+iy)|m\rangle )= (x+iy)L_z|m\rangle + (x+iy) |m\rangle = (m+1) (x+iy)|m\rangle \,$

signifiant que la matrice (x+iy) transforme un vecteur propre de $L z$ de valeur propre m en un vecteur propre de valeur m+1. De même, (x-iy) soustrait une unité à m, et z ne change pas sa valeur.
Donc dans une base d'états |l, m> où $L 2$ et $L z$ ont des valeurs définies, les éléments de matrice de chacune des composantes de la position sont nuls sauf quand m est le même ou à une unité près.
Cela contraint la modification sur le moment angulaire total. N'importe quel état peut subir une rotation pour que son moment angulaire soit dans la direction zdans la mesure du possible, où m = l. L'élément de matrice sur la position agissant sur |l, m> peut uniquement produire des valeurs de m plus élevées d'une unité, par conséquent si les coordonnées subissent une rotation telle que l'état final soit |l', l'>, la valeur de l'peut être d'au mieux +1 comparé à la plus grande valeur de l qui existe pour l'état d'origine. Par conséquent l'est d'au plus l+1. Les éléments de matrice disparaissent pour l'>l+1, et un élément de matrice inverse étant déterminé par l'hermiticité, ils disparaissent aussi pour l'

Lois de sommation

L'équation du mouvement d'Heisenberg définit les éléments de matrice de p dans la base d'Heisenberg à partir des éléments de matrice de x.

$p_{ij} = m{d\over dt} x_{ij} = im (E_i - E_j) x_{ij} \,$

qui convertit la partie diagonale de la relation de commutation en une règle de sommation de l'intensité des éléments de matrice :

$\sum_j p_{ij}x_{ji} - x_{ij}p_{ji} = i \sum_j 2m(E_i - E_j) |x_{ij}|ˆ2 = i. \,$

Cela donne une relation pour la somme des intensités spectroscopiques depuis et vers tout état donné, quoique pour être exacte dans l'absolu, les contributions de la probabilité de capture radiative pour les états diffusifs non liés doit être incluse dans la somme :

$\sum_j 2m(E_i - E_j) |x_{ij}|ˆ2 = 1. \,$

Les trois articles fondateurs

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [traduction en anglais : B. L. van der Wærden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (Titre en anglais : Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations, en français : Réinterprétation des relations cinématique et mécanique dans le cadre de la théorie quantique) ].
M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925 (received September 27, 1925). [traduction en anglais : B. L. van der Wærden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (English title : On Quantum Mechanics) ].
M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1925 (reçu le 16 novembre 1925). [Traduction en anglais : B. L. van der Wærden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1].

Bibliographie

Jeremy Bernstein Max Born and the Quantum Theory, Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005). Department of Physics, Stevens Institute of Technology, Hoboken, New Jersey 07030. Reçu le 14 avril 2005 ; accepté le 29 juillet 2005.

Max Born The statistical interpretation of quantum mechanics. Nobel Lecture – 11 décembre 1954.

Nancy Thorndike Greenspan, "The End of the Certain World : The Life and Science of Max Born" (Basic Books, 2005) ISBN 0-7382-0693-8. Aussi publié en Allemagne : Max Born - Baumeister der Quantenweld. Eine Biographie (Spektrum Akademischer Verlag, 2005), ISBN 3-8274-1640-X.

Max Jammer The Conceptual Development of Quantum Mechanics (McGraw-Hill, 1966)

Jagdesh Mehra and Helmut Rechenberg The Historical Development of Quantum Theory. Volume 3. The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925–1926. (Springer, 2001) ISBN 0-387-95177-6

B. L. van der Wærden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1

Notes et références

↑ W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, Munich, (1969) (en) The Birth of Quantum Mechanics.
↑ The Birth of Quantum Mechanics
↑ W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (reçu le 29 juillet 1925). [Traduction en anglais : B. L. van der Wærden, éditeur, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (titre anglais : “Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations”). ]
↑ Emilio Segrè, From X-Rays to Quarks : Modern Physicists and their Discoveries (W. H. Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8, pp 153 - 157.
↑ Abraham Pais, Niels Bohr's Times in Physics, Philosophy, and Polity (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2, pp 275 - 279.
↑ (en) Discours Nobel de Max Born (1954) .
↑ M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925 (reçu le 27 septembre 1925). [Traduction en anglais dans : B. L. van der Wærden, éditeur, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1]
↑ M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1925 (reçu le 16 novembre 1925). [Traduction en anglais dans : B. L. van der Wærden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1].
↑ Jeremy Bernstein Max Born and the Quantum Theory, Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005).
↑ Mehra, Volume 3 (Springer, 2001)
↑ Jammer, 1966, p. 206-207.
↑ van der Wærden, 1968, p. 51.
↑ La citation de Born se trouve dans l'article de Born et Jordan, deuxième de la trilogie ayant initié la formulation de la mécanique matricielle. Voir van der Wærden, 1968, p. 351.
↑ Constance Ried Courant (Springer, 1996) p. 93.
↑ John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren, Mathematische Annalen 102 49–131 (1929).
↑ Quand von Neumann quitta Göttingen en 1932, son ouvrage sur les fondements mathématiques de la mécanique quantique, basés sur les mathématiques hilbertiennes, fut publié sous le titre Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Voir : Norman Macræ, John von Neumann : The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (Réimprimé par l'American Mathematical Society, 1999) et Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8.
↑ Bernstein, 2004, p. 1004.
↑ Greenspan, 2005, p. 190.
↑ Voir prix Nobel de physique et le discours de présentation Nobel correspondant
↑ Bernstein, 2005, p. 1004.
↑ Bernstein, 2005, p. 1006.
↑ Greenspan, 2005, p. 191.
↑ Greenspan, 2005, pp. 285-286.
↑ P. A. M. Dirac The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press

Voir aussi

Liens externes

(en) An Overview of Matrix Mechanics (présentation générale de la mécanique matricielle)
(en) Matrix Methods in Quantum Mechanics (méthodes matricielles en mécanique quantique)
(en) Heisenberg Quantum Mechanics (Théorie et développements originaux en 1925-1927)
(en) Interviex de Werner Heisenberg en 1970 pour la radio CBC
(en) Werner Karl Heisenberg Co-founder of Quantum Mechanics (Werner Karl Heisenberg, co-fondateur de la mécanique quantique

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Matrix mechanics».

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