Principe d'incertitude

Le principe d'incertitude fut énoncé au printemps 1927 par Heisenberg lors des balbutiements de la mécanique quantique.

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Vues spatiale (position) et fréquentielle (impulsion) de (a) une onde, (b) un paquet d'onde et (c) un corpuscule. L'onde étant de fréquence pure, son impulsion est définie mais elle n'est pas située dans l'espace. Inversement, le corpuscule est situé mais n'a pas de fréquence déterminée. Le cas général est celui du paquet d'onde qui est distribué en fréquence comme en espace. Du fait de la dualité entre les deux représentations l'étalement spatial est inversement proportionnel à l'étalement fréquentiel.

Le principe d'incertitude fut énoncé au printemps 1927 par Heisenberg lors des balbutiements de la mécanique quantique.

Le terme "incertitude" est le terme historique pour ce principe. Le nom de principe d'indétermination est quelquefois préféré car le principe ne porte pas sur l'ignorance par l'expérimentateur de grandeurs, mais bien sur l'impossibilité de les déterminer, et même d'affirmer qu'une détermination plus précise existe.

Les travaux de Planck, Einstein et De Broglie avaient mis à jour que la nature quantique de la matière entraînait l'équivalence entre des propriétés ondulatoires (fréquence et vecteur d'onde) et corpusculaires (énergie et impulsion) selon les lois : $E=\hbar \omega$ et $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ .

La dualité onde-corpuscule confirmée alors par de nombreuses expérimentations posait un problème de fond aux physiciens. En effet, pour posséder une fréquence et un vecteur d'onde, un objet doit avoir une certaine extension en espace et en temps. Un objet quantique ne peut par conséquent être ni idéalement situé, ni avoir une énergie idéalement définie.

De manière simplifiée, ce principe d'indétermination décrit par conséquent que — de façon assez contre-intuitive du point de vue de la mécanique classique — pour une particule massive donnée, on ne peut pas connaître simultanément sa position et sa vitesse. Soit on peut connaître exactement sa position (par ex : à ± 1 mm) contre une grande incertitude sur la valeur de sa vitesse (par ex : à ± 100 m/s), soit on peut connaître exactement sa vitesse (par ex : à ± 0, 0001 m/s) contre une grande incertitude sur la valeur de sa position (par ex : à ± 1 km).

Cependant, si on renonce à considérer la particule comme objet corpusculaire, l'énoncé de ce principe devient plus intuitif. L'objet quantique ayant une certaine extension dans l'espace et une certaine durée de vie en temps, on le représente alors, non plus par un ensemble de valeurs scalaires (position, vitesse), mais par une fonction décrivant sa distribution spatiale. Toute l'information relative à la particule est contenue dans cette fonction d'onde. Les mesures scalaires effectuées sur cette particule consistent à extraire uniquement une partie de cette information, par l'intermédiaire d'opérateurs mathématiques.

Historique du terme

Le principe d'incertitude est fréquemment nommé principe d'indétermination. L'emploi de ces deux termes pour désigner la même notion résulte d'un problème lors de la traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit (imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déja traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera consacré. ^[1]

Bien que l'expression «principe d'incertitude» soit la plus usitée, on devrait en toute rigueur parler de «principe d'indétermination». Cependant l'expression s'est répandue à tel point qu'elle est actuellement acceptée par l'ensemble des physiciens. Le terme de «principe» est aussi inapproprié, bien que fréquemment toujours usité. Il conviendrait de parler de relations d'incertitude ou mieux de relations d'indétermination.

À cause de ces connotations philosophiques, actuellement les physiciens parlent des relations d'incertitude, ou des inégalités de Heisenberg, car c'est une inégalité portant sur des grandeurs physiques non-commutatives.

Les relations de Heisenberg

Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe.

Description classique

La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement déterminée si on connaît à chaque instant : sa position x et sa quantité de mouvement p = mv (aussi nommée : impulsion). Ces deux grandeurs physiques réelles ont des valeurs appartenant à $\mathbb{R}$ , variant de $-\infty$ à $+\infty$ . On dit que le couple (x, p) définit l'espace des phases de la particule. Toute grandeur physique est représentable par une fonction f (x, p) réelle. Cette théorie est conforme à la logique aristotélicienne, incluant la notion de tiers exclu : « il faut qu'une porte soit ouverte ou bien fermée. » Du point de vue mathématique, on décrit l'état de la particule par un nombre fini de grandeurs scalaires.

Description quantique

En mécanique quantique, la valeur précise des paramètres physiques tels que la position ou la vitesse n'est pas déterminée tant qu'elle n'est pas mesurée. Seule la distribution statistique de ces valeurs est idéalement déterminée à tout instant. Cela peut mener au point de vue (qui est un abus de langage) selon lequel un objet quantique pourrait être "à plusieurs lieux en même temps". Un point de vue plus juste serait de dire que l'objet quantique n'a pas de localisation tant que la position n'est pas mesurée.

Cela dit, le paradoxe n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension illimitée.
Les grandeurs classiques ne sont par conséquent en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées.

Notion d'observable

Très curieusement, une grandeur physique, nommée une observable, n'est plus une fonction f (x, p) réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien $\hat{G}$ agissant sur un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ . La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelles de cet opérateur ^[2] :

$\hat{G} \, | g_i \rangle = g_i \, | g_i \rangle$

Si l'état du dispositif à l'instant de la mesure est un vecteur $| \psi \rangle$ de l'espace $\mathcal{H}$ , alors ce vecteur admet la décomposition :

$| \psi \rangle = \Sigma_i c_i \, |g_i \rangle$

où les c_i sont des nombres complexes.

Interprétation probabiliste

Le nombre complexe c_i sert à calculer la probabilité p_i d'obtenir la valeur g_i :

$p_i = | c_i |ˆ2 = c_i \, c_iˆ*$ .

La mesure de la grandeur est par conséquent une variable aléatoire (v. a. ) avec une espérance E (g) et un écart type σ (g) ^[3]. La mesure est par conséquent de nature probabiliste, ce qui implique énormément de paradoxes apparents en logique aristotélicienne. L'un d'entre eux a été immédiatement remarqué par Heisenberg : comme l'opérateur position $\hat{x}$ et l'opérateur quantité de mouvement $\hat{p}$ ne commutent pas :

$\left[ \hat{q} , \hat{p} \right] = i \, \hbar \,\hat{\Bbb{I}}$

on ne peut pas mesurer simultanément ces deux grandeurs : la notion d'espace des phases disparaît en mécanique quantique. L'objet quantique est en fait totalement décrit par sa fonction d'onde. Les grandeurs scalaires utilisées en physique classique sont insuffisantes et incorrectes.

L'évolution déterministe de Newton est remplacée par une équation d'évolution déterministe de Schrödinger, servant à prédire de façon certaine l'évolution temporelle des fonctions d'onde (dont le module carré est la probabilité, la phase n'étant pas connue a priori).

Inégalité de Heisenberg

Des mesures répétées de la position et de l'impulsion donneront des résultats généralement différents à chaque mesure : chaque échantillon de valeurs sera caractérisé par un écart type : σ_x pour la position, et σ_p pour l'impulsion. Le théorème de Heisenberg démontre que :

$\sigma_x \cdot \sigma_p \ge\frac{\hbar}{2}$ ,

où $\hbar$ est la constante de Planck réduite. Cette notion est souvent vulgarisée par des phrases du type : « Il est impossible de connaître à la fois la position et la quantité de mouvement d'un objet de manière précise ». En effet, si par exemple la position d'une particule est précisément connue, la dispersion en position est semblablement nulle : σ_x = 0. L'inégalité de Heisenberg implique tandis que $\sigma_p = \infty$ : la dispersion en impulsion doit être maximale.

Principe général de Heisenberg

Le théorème de Heisenberg ne s'applique pas uniquement au couple de valeurs position et quantité de mouvement. Dans sa forme générale, il s'applique à chaque couple d'opérateurs $\hat{A}$ et $\hat{B}$ ne commutant pas :

$\hat{C} = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \neq 0$

Énoncé du principe de Heisenberg

Pour un état $| \psi \rangle$ donné, on a :

$\langle \psi |\sigma_A \ \cdot \ \sigma_B|\psi\rangle \ge \frac{\langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle}{2}$

où la valeur moyenne du commutateur $\langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle$ dépend évidemment de l'état $|\psi \rangle$ choisi.

Ce théorème général, conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, fut mis en évidence en 1930 par Robertson et (indépendamment) par Schrödinger ; l'inégalité est par conséquent aussi connue comme la relation de Robertson-Schrödinger.

Principe ou théorème ?

Les puristes réservent quelquefois le nom de principe au cas où un minorant non nul de $| \langle \psi | \hat{C} | \psi\rangle |$ existe quel que soit l'état $| \psi \rangle$ . Cela n'est envisageable que si l'espace de Hilbert est de dimension illimitée. En effet, dans le cas d'un espace de dimension finie, on a :

$\mathrm{Tr} \, (\hat{A}\hat{B}) = \mathrm{Tr} \, (\hat{B}\hat{A}) \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{Tr} \, (\hat{C}) = 0$

Il n'y a tandis que théorème de Heisenberg, et non pas principe; c'est par exemple le cas d'un spin 1/2.

Autre formulation du principe de Heisenberg

L'inégalité de Heisenberg est fréquemment rédigée :

$\Delta{A} \cdot \Delta{B} \ge \frac{1}{2} \left| \left\langle \left[ \hat{A}, \hat{B} \ \right] \right\rangle_\gamma \right|$

où :

A et B sont deux observables,

$\hat{A}$ et $\hat{B}$ les opérateurs correspondants,

$[\hat{A},\hat{B}]$ représente le commutateur de $\hat{A}$ et $\hat{B}$ ,

$\left\langle\,\right\rangle_\gamma$ est la moyenne sur l'état notation bra-ket : $| \gamma \rangle$ , et

Δ X est l'écart type de X : $\sqrt{{\left\langle\hat{X}ˆ2\right\rangle}_\gamma-{ \left\langle\hat{X}\right\rangle}_\gammaˆ2}$ .

Relation temps-énergie

Il existe aussi une relation d'incertitude portant sur l'énergie d'un particule et la variable temps. Ainsi, la durée Δt indispensable à la détection d'une particule d'énergie E à ΔE près^[4] vérifie la relation :

$\Delta E \, \cdot \, \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$

Cependant, la déduction de cette inégalité énergie-temps est assez différente de celle des inégalités position-impulsion^[5]. En effet, si le Hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en mécanique hamiltonienne, indiquant que temps et énergie sont conjugués^[6], il n'existe pas d'opérateur temps en mécanique quantique (« théorème » de Pauli), c'est-à-dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur $\hat{T}$ qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur Hamiltonien $\hat{H}$ :

$\left[ \hat{H} , \hat{T} \right] = i \hbar \hat{\Bbb{I}}$

ceci pour une raison particulièrement principale : la mécanique quantique a en effet été découverte pour que chaque dispositif physique stable possède un état essentiel d'énergie mininum^[7].

Perspective historique

Il est clair que l'abandon de la logique d'Aristote à cause de la nature probabiliste de la mesure a suscité un vif émoi dans la communauté scientifique : John von Neumann est un des tous premiers à écrire sur la logique quantique^[8], suivi par Mackey^[9].

La controverse Einstein-Bohr est d'autre part célèbre : pour Einstein, «Dieu ne joue pas aux dés !», ce à quoi Bohr répondra : « Einstein, cessez de dire à Dieu ce qu'Il doit faire ». Le paradoxe EPR entraînera Bell via ses inégalités à renoncer à la notion classique de localité^[10]. Cette hypothèse sera confirmée par l'expérience d'Aspect en 1982; cette expérience sera toujours raffinée par Anton Zeilinger en 1998^[11]. Le paradoxe du chat de Schrödinger conduira à une réflexion profonde sur le rôle du couplage à l'environnement et la décohérence des intricats^[12]^,^[13]^,^[14]. D'où la progression fulgurante de la cryptologie quantique, de la téléportation quantique, réalités techniques en 2005, et de l'informatique quantique, toujours balbutiante en 2005.

Exemples

Cette corrélation d'incertitudes est quelquefois expliquée de manière erronée en affirmant que la mesure de la position modifie obligatoirement la quantité de mouvement d'une particule. Heisenberg lui même offrit originellement cette explication en 1927. Cette modification ne joue aucun rôle, car le théorème s'applique même si la position est mesurée dans une copie du dispositif, et la quantité de mouvement dans une autre copie idéalement semblable.

Une meilleure ressemblance serait la suivante : soit un signal variable dans le temps, comme une onde sonore, et soit à connaître la fréquence exacte de ce signal à un instant $t$ précis. Ceci est impossible généralement, car pour déterminer exactement la fréquence, il faut échantillonner le signal pendant une certaine durée ^[15]. En traitement du signal, cet aspect est au cœur de l'approche temps-fréquence du spectrogramme où on utilise le principe d'incertitude sous la formulation de Gabor.

Le théorème d'Heisenberg s'applique surtout à l'expérience principale des fentes d'Young avec un photon unique : l'ensemble des ruses qu'inventent les physiciens pour tenter de voir passer la "particule" à travers un des trous, détruisent la phase et par conséquent les interférences de l'onde : il y a complémentarité de Bohr, c'est-à-dire que si avant toute mesure, l'état quantique $| ψ >$ décrit à la fois un aspect ondulatoire et un aspect corpusculaire, après la mesure, il subsiste un aspect ondulatoire ou un aspect corpusculaire. Selon la phrase célèbre de Dirac, la «particlonde^[16]» a interféré avec elle-même.

Cette expérience est présentée au Palais de la Découverte avec une source de photon unique. Le motif produit par des millions de photons passant à travers les fentes peut être calculé avec la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. En 2005, on a même réussi cette expérience avec des fullerènes, ces grosses molécules de carbone contenant 60 atomes !

La controverse Bohr-Einstein

Einstein n'aimait pas le théorème d'incertitude. Lors du 5^e congrès Solvay (1927), il soumit à Bohr un fameux défi expérimental : nous remplissons une boîte avec un matériau radioactif qui émet de manière aléatoire une radiation. La boîte a une fente qui est ouverte et immédiatement fermée par une horloge de précision, permettant à quelques radiations de sortir. Par conséquent le temps est connu avec précision. Nous voulons toujours mesurer exactement l'énergie qui est une variable conjuguée. Aucun problème, répond Einstein, il suffit de peser la boîte avant et après. Le principe d'équivalence entre la masse et l'énergie donnée par la relativité restreinte permet ainsi de déterminer exactement l'énergie qui a quitté la boîte. Bohr lui répondit ceci : si de l'énergie avait quitté le dispositif alors la boîte plus légère serait montée sur la balance. Ce qui aurait modifié la position de l'horloge. Si l'horloge dévie de notre référentiel stationnaire, par la relativité restreinte il s'ensuit que sa mesure du temps diffère de la nôtre, ce qui conduit infailliblement à une marge d'erreur. En fait l'analyse détaillée montre que l'imprécision est donnée correctement par la relation d'Heisenberg. Voir par exemple le site de la fondation Nobel pour une figure de cette «horloge dans la boîte».

Dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, beaucoup acceptée mais pas universellement, le théorème d'incertitude implique qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique ne «vit» pas dans un espace des phases, mais plutôt comme un ensemble de réalisations potentielles, précisément déterminées en probabilité : les probabilités sont , elles, déterminées avec une précision absolue, pour tout autant que l'état du dispositif soit pur (c'est-à-dire qu'il ne soit pas lui-même déterminé approximativement !)

États comprimés

Pour contourner les inégalités d'Heisenberg, les physiciens réalisent des états dits comprimés (en franglais : états «squeezés»), où il n'y a aucune incertitude sur la phase (mais alors le nombre de particules est indéterminé) ou, au contraire, un nombre bien déterminé de particules (en particulier de photons), mais on perd l'information sur la phase. Il a été montré par les travaux de Glauber (prix Nobel 2005) que l'information quantique n'est pas entachée par le théorème d'Heisenberg. On peut par conséquent espérer tirer le maximum d'information quantique d'une photographie numérique, tout en respectant le deuxième principe de la thermodynamique^[17].

Définition

La claustrophobie quantique est la tendance qu'ont les particules à vibrer frénétiquement quand elles sont confinées dans un milieu particulièrement petit. Les dispositifs deviennent fluctuants à des échelles microscopiques.

Constante de Planck

Article détaillé : Fonction d'onde.

Les fluctuations de ces dispositifs sont de l'ordre de 10^-33, c'est à dire, la constante de Planck notée $\hbar\,$ ^[18]. Ce comportement "turbulent" s'explique par le principe d'incertitude d'Heinsenberg.

Conséquences

Cela veut dire, que si ħ était plus grand, ces comportements turbulents se manifesteraient non plus à des échelles subplanckienne mais aux échelles macroscopiques. Deux dés dans une boîte se mettraient à virevolter frénétiquement si la constante de Planck était plus élevée.

Notes

↑ Jean-Marc Lévy- Leblond et Françoise Balibar, When did the indeterminacy principle become the uncertainty principle ?, Physics 66, 1998, p. 278- 279, cité par Etienne Klein dans [1] page 6
↑ On note g_i la valeur propre associée au vecteur propre $| g_i\rangle$ . Par souci de simplification, on néglige ici la notion de multiplicité des valeurs propres.
↑ D'une façon plus générale, l'ensemble des moments peuvent être définis.
↑ Ce concept est essentiel en théorie quantique des champs, théorie qui fait appel à la notion de particule virtuelle.
↑ Pour une dérivation rigoureuse de l'inégalité énergie-temps, consulter par exemple : Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions] vol. 1 p. 114-117, p. 269-270, et enfin, pour l'oscillateur harmonique, p. 280.
↑ De même que la composante p_i de l'impulsion est le générateur des translations d'espace dans la direction xⁱ.
↑ L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des translations en énergie. Ceci entraîne tandis que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un spectre continu et illimité dans les deux sens, en contradiction avec le fait que l'énergie de tout dispositif physique stable se doit d'être bornée inférieurement. Concernant la validité de ce « théorème », lire les travaux particulièrement récents d'Eric Galapon : quant-ph/9908033 et quant-ph/0303106.
↑ George Birkhoff and John von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Annals of Mathematics 37 (1936), pp. 823-843.
↑ George Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin (1963). Réédité par Dover (2004), ISBN 0-486-43517-2.
↑ John S. Bell ; Phys 1 (1964) 195.
↑ Alain Aspect ; Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique) , Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de L'ensemble des Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 589. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe E. P. R., par un professeur d'optique à l'Université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une remarquable expérience testant les inégalités de Bell des corrélations E. P. R. (expérience en faveur des prédictions de la mécanique quantique. Cette expérience fût perfectionnée en 1998 par Anton Zeilinger et ses collaborateurs de l'Université d'Innsbrück, Autriche).
↑ Serge Haroche, Jean-Michel Raimond & Michel Brune ; Le chat de Schrödinger se prête à l'expérience - Voir en direct le passage du monde quantique au monde classique, La Recherche 301 (Septembre 1997) 50. Lire aussi : Serge Haroche ; Une exploration au cœur du monde quantique, dans : Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de L'ensemble des Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 571.
↑ Roland Omnès ; Comprendre la mécanique quantique, EDP Sciences (2000) ISBN 2-86883-470-1. Par un professeur de physique théorique émérite de l'Université de Paris-Sud (Orsay), une discussion de l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, du problème de la mesure et de la théorie des histoires consistantes de Griffiths et de la décohérence, par l'un de ses pionniers.
↑ La décohérence, Séminaire Poincaré (19 novembre 2005).
↑ Techniquement, le temps et la fréquence sont ici des variables conjuguées au sens de la transformée de Fourier.
↑ Jean-Marc Lévy-Leblond a proposé d'utiliser plutôt le terme de quanton : Jean-Marc Lévy-Leblond & Françoise Balibar ; Quantique : rudiments, InterEditions/Editions du CNRS (1984). Réédité par Masson (1997) ISBN 2-225-85521-8, actuellement racquis par Dunod : ISBN 2-225-85521-8.
↑ Voir par exemple les travaux de Claude Fabre (Laboratoire Kastler-Brossel, université Paris 6).
↑ Ici nous ne parlons que de la constante de Planck réduite (voir Constante de Planck)

Voir aussi

Bibliothèque virtuelle

David C. Cassidy ; Werner Heisenberg and the uncertainty principle. Site proposé par l'auteur (Université Hofstra) et le Center for History of Physics de l'American Institute of Physics.

Bibliographie

David C. Cassidy ; Uncertainty - The life & science of Werner Heisenberg, Freeman & Co. (1992) ISBN 0-7167-2503-7
Werner Heisenberg ; Les principes physiques de la théorie des quanta, Gauthier-Villars (1932). Réédition par Jacques Gabay (1989) ISBN 2-87647-080-2
John von Neumann ; Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, Springer-Verlag (1932). Traduction française : Librairie Alcan (1946), réédité par Jacques Gabay (1988), ISBN 2-87647-047-0.
George Birkhoff and John von Neumann, The Logic of Quantum Mechanics, Annals of Mathematics 37 (1936), pp. 823-843.
George Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin (1963). Réédité par Dover (2004), ISBN 0-486-43517-2.
John S. Bell ; Phys 1 (1964) 195.
Alain Aspect ; Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique) , Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de L'ensemble des Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 589. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe E. P. R., par un professeur d'optique à l'Université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une remarquable expérience testant les inégalités de Bell des corrélations E. P. R. (expérience en faveur des prédictions de la mécanique quantique. Cette expérience fût perfectionnée en 1998 par Anton Zeilinger et ses collaborateurs de l'Université d'Innsbrück, Autriche).
Serge Haroche, Jean-Michel Raimond & Michel Brune ; Le chat de Schrödinger se prête à l'expérience - Voir en direct le passage du monde quantique au monde classique, La Recherche 301 (Septembre 1997) 50. Lire aussi : Serge Haroche ; Une exploration au cœur du monde quantique, dans : Qu'est-ce que l'Univers ?, Vol. 4 de l'Université de L'ensemble des Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001), ISBN 2-7381-0917-9, pp. 571.
Roland Omnès ; Comprendre la mécanique quantique, EDP Sciences (2000) ISBN 2-86883-470-1. Par un professeur de physique théorique émérite de l'Université de Paris-Sud (Orsay), une discussion de l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, du problème de la mesure et de la théorie des histoires consistantes de Griffiths et de la décohérence, par l'un de ses pionniers.
La décohérence, Séminaire Poincaré (19 novembre 2005).

Liens externes

(en) The certainty principle, revue

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