Harmonique sphérique

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques spécifiques. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique quand son laplacien est nul.

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Analyse à plusieurs variables - Physique quantique - Analyse harmonique - Fonction hypergéométrique - Physique atomique

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

Les fonctions solutions de l'équation de Laplace sont par conséquent finalement les harmoniques sphériques Ylm, qui s'écrivent donc :... (source : geologie.ens)
Calcul numérique de la fonction harmonique sphérique généralisée pourvue des propriétés de symétrie du cristal cubique ou hexagonal... (source : scripts.iucr)

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques spécifiques. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique quand son laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont spécifiquement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques $P (x, y, z)$ de degré $l$ forment un espace vectoriel de dimension $2 l + 1$ , et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques $( r,\theta,\varphi )$ avec $2 l + 1$ combinaisons :

$rˆl \cdot Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ ,

avec $- l \le m \le + l$ .

Les coordonnées sphériques $( r,\theta,\varphi )$ sont , respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité $S 2$ .

Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et par conséquent de rotation (groupe de symétrie orthogonal $S O (3)$ ) et que le laplacien entre en jeu :

en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), gravimétrie...
en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie)
en cristallographie pour la texture,
en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)
etc.

Résolution de l'équation de Laplace

On cherche les fonctions $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

$Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k P_{l,m}(\cos \theta) \mathrm{e}ˆ{+ \, i \, m \, \varphi}$

où $k$ est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction $P l, m (cosθ)$ :

$- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ∼}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{mˆ2}{\sinˆ2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta) = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta)$

On fait le changement de variable : $\theta \mapsto x = \cos \theta$ qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

$- \frac{\mathrm d ∼}{\mathrm dx} \left[ (1-xˆ2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{mˆ2}{(1-xˆ2) } P_{l,m}(x) = E_{l,m} P_{l,m}(x)$

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de $m$ :

$E_{l,m} = l (l+1)∼$

Les fonctions propres $P l, m (x)$ se construisent à partir des polynômes de Legendre $P l (x)$ qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas $m = 0$ :

$- \frac{\mathrm d ∼}{\mathrm dx} \left[ (1-xˆ2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right] = l (l+1) P_{l}(x)$

On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :

$P_{l}(x) = \frac{1}{2ˆl l !} \frac{\mathrm dˆl ∼}{\mathrm dxˆl} \left[ xˆ2 - 1 \right]ˆl$

On construit alors les fonctions propres $P l, m (x)$ par la formule :

$P_{l,m}(x) = (-1)ˆm \left[ 1 - xˆ2 \right]ˆ{m/2} \frac{\mathrm dˆm P_{l}(x)}{\mathrm dxˆm}$

soit explicitement :

$P_{l,m}(x) = \frac{(-1)ˆm}{2ˆl l !} \left[ 1 - xˆ2 \right]ˆ{m/2} \frac{\mathrm dˆ{l+m} ∼}{\mathrm dxˆ{l+m}} \left[ xˆ2 - 1 \right]ˆl$

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions $P l, m (x)$ pour $m \ge 0$ , car il existe une relation simple entre $P l, m (x)$ et $P l, - m (x)$ :

$P_{l,- \, m}(x) = (-1)ˆm \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} P_{l,m}(x)$

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

$Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}$ ,

où $P l (x)$ est le polynôme de Legendre de degré $l$ .

On obtient ensuite :

$J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(lˆ2-mˆ2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}$

où

$J_+ = eˆ{i\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{\tan \theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$

est l'opérateur «d'échelle montante».

Pour $m$ négatif, $Y_{l,m} = (-1)ˆm.Y_{l, -m}ˆ*$

Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

Fréquemment cette base se note $|lm\rangle$ :

toute fonction sur la sphère $S 2$ pourra par conséquent s'écrire :

$f(\theta, \phi) = fˆ{l,m}\cdot |lm\rangle$

(en convention de sommation d'Einstein), les cœfficients complexes $f (l, m)$ jouant le rôle de composantes de $f$ dans la base des $|lm\rangle$ (on dit quelquefois cœfficients de fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques «réelles» et des cœfficients de fourier réels.

Expression mathématique

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue $f(\theta, \varphi)$ se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

$f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}ˆ{+\infty} \sum_{m = -l}ˆ{+l} C_lˆm \cdot Y_lˆm (\theta , \varphi)$

où $l$ et $m$ sont des indices entiers, $C l m$ est un cœfficient constant et fréquemment en mathématiques prend le nom de cœfficient de Fourier généralisé assez à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

$Y l m$ est la partie réelle d'une fonction complexe $Y l m$

$Y_lˆm(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_lˆm}(\theta , \varphi) \right )$

$Y l m$ est nommée «fonction associée de Legendre» et est définie par

$\underline{Y_lˆm}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_lˆm (\cos \theta) \cdot eˆ{i m \varphi}$

où $i$ est l'imaginaire et $P l m$ est le polynôme de Legendre :

$P_lˆm (X) = \frac{(-1)ˆm}{2ˆl \cdot l!} \cdot (1-Xˆ2)ˆ{m/2} \cdot \frac{\partialˆ{m+l}}{\partial Xˆ{m+l}} \left [ (Xˆ2 - 1)ˆl \right ]$

On a donc

$Y_lˆm(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_lˆm (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)$

On a par exemple :

$P_0ˆ0(\cos \theta) = 1$ ( $Y 00$ est isotrope) ;
$P_1ˆ0(\cos \theta) = \cos \theta$ ;
$P_1ˆ1(\cos \theta) = - \sin \theta$ ;
$P_3ˆ1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cosˆ2 \theta + 1)$ ;

Les fonctions $Y l m (θ, φ)$ présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que $l$ croît (sauf quand $l = 0$ , puisque $Y 00$ est une fonction constante et décrit par conséquent une sphère).

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes $P l$ de la fonction cosinus :

Y l (θ) = P l (cosθ)

Les polynômes $P l$ utilisés sont les polynômes de Legendre¹ :

$P_l(X) = \frac{1}{2ˆl \cdot l!} \cdot \frac{dˆl}{d Xˆl}\left [ (Xˆ2 - 1)ˆl \right ]$ (formule de Rodrigues, mathématicien suisse)

On obtient :

$P_0(\cos \theta) = 1∼$ (fonction isotrope) ;
$P_1(\cos \theta) = \cos \theta∼$ ;
$P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cosˆ2 \theta -1)$ ;
$P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cosˆ3 \theta - 3 \cos \theta)$ ;

Base orthonormale des harmoniques sphériques

Parmi les $(2 l + 1)$ fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère $S 2$ pourvue de la mesure

$\mathrm d\mu = \frac{1}{4\pi} \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi$ ,

soit le produit scalaire (hermitien en fait) :

$\langle f_1\mid f_2\rangle = \frac{1}{4\pi} \iint_{Sˆ2} f_1ˆ{*} f_2 \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi$

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres ^[1] :

$- \Delta Y_{l,m}(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_{l,m}(\theta, \varphi)$

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, $J 2$ :

$\Delta f(\theta, \varphi) \stackrel{\rm def}{=} Jˆ2 f = \frac{1}{\sin \theta } \frac{\partial ∼}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sinˆ2 \theta } \frac{\partialˆ2 f}{\partial \varphiˆ2}$

Elles sont fonctions propres de l'opérateur $J_3 = -i \tfrac{\partial}{\partial \phi}$ :

$J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}$

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées habituellement $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ , où les angles $(\theta, \varphi)$ sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et $l$ et $m$ sont deux nombres entiers tels que :

$0 \le l$
$- l \le m \le + l$

Normalisation

Les harmoniques sphériques forment une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité $S 2$ au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

$\iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \delta_{l, l'} \delta_{m, m'}$

Dans cette formule, $\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)$ représente l'angle solide élémentaire :

$\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\varphi$

Toute fonction $f(\theta, \varphi)$ suffisamment régulière admet un développement en série :

$f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}ˆ{+ \infty} \sum_{m=-l}ˆ{+l} a_{l,m} Y_{l,m}(\theta, \varphi)$

où les cœfficients complexes $a l, m$ se calculent par :

$a_{l,m} = \iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi) f(\theta, \varphi)$

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S₃. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

$Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_{l,|m|}(\cos \theta) \mathrm{e}ˆ{i \, m \, \varphi}$

Représentation sphérique

Si on utilise la représentation sphérique

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_lˆm (\theta,\varphi)$

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où $Y l m$ est positif, les creux aux parties où $Y l m$ est négatif. Quand $θ$ et $\varphi$ décrivent l'intervalle $[0;2π[$ , $Y l m (θ, φ)$ s'annule selon $l$ cercles :

$m$ cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant $O z$ et la sphère) ;
$l - m$ cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à $O x y$ et la sphère).

Le paramètre $l$ est nommé le «degré», $m$ est nommé l'«ordre azimutal». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique $Y 32$ :

Comme auparavant, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

$Y_3ˆ2$

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3ˆ2 (\theta,\varphi)$ les parties en blanc sont positives, en bleu négatives	$\rho = \|Y_3ˆ2(\theta,\varphi)\|ˆ2$

Représentation en coupe

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les nœuds, comme le montre le tableau suivant^[2]. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où $l = 3$ . Les quatre valeurs de $m$ y fluctuent de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour $m > 0$ . Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

On reconnaît les nombres quantiques secondaire $l$ , correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal $n$ n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l'expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l'axe vertical. L'exponentielle imaginaire $exp (i m φ)$ , de module unité, utilisée généralement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de $l \ge 4$ ne s'observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de $l$ est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par par un anneau^[3].

Représentation cartésienne et polaire

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

en coordonnées cartésiennes : $y = Y l (θ)$ ;
en coordonnées polaires : $r = r 0 + r 1 . Y l (θ)$
avec $r 1 < r 0$ , utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre $O$ et de rayon $r 0$ quand la fonction s'annule ;
en coordonnées polaires : $r = | Y l (θ) | 2$
utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

Trois premières harmoniques circulaires
	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)	Représentations polaires (tracé exact)
$Y$ ₁
$Y$ ₂
$Y$ ₃

Harmoniques circulaires

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

$f(\theta) = \sum_{l = 0}ˆ{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)$

$Y 0$ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires $r = Y 0 (θ)$ est par conséquent un cercle de rayon $r 0$ .

$Y l$ est une fonction invariante par une rotation d'un angle de $1 / (l + 1)$ tour, c'est-à-dire que

$Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)$

on dit que $Y l$ admet une symétrie d'ordre $l + 1$ .

Harmoniques sphériques généralisées

Quand on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise généralement les angles d'Euler $(ψ, θ, φ)$ .

Considérons une fonction continue de l'orientation $ƒ (ψ, θ, φ)$ ; comme auparavant, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

$f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}ˆ{+\infty} \sum_{m = -l}ˆ{+l} \sum_{n = -l}ˆ{+l} C_lˆ{mn} \cdot Y_lˆ{mn} (\psi,\theta,\varphi)$

où $C l mn$ est une constante. La fonction $Y l mn$ s'écrit :

$Y_lˆ{mn}(\psi,\theta,\varphi) = eˆ{i m \varphi} \cdot P_lˆ{mn}( \cos \theta) \cdot eˆ{i n \psi}$

Le polynôme $P l mn$ est le polynôme de Legendre généralisé

$P_lˆ{m n} (X) = \frac{(-1)ˆ{l-m} \cdot iˆ{n-m}}{2ˆl \cdot (l-m)!} \cdot \left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]ˆ{1/2} \cdot (1-X)ˆ{-\frac{n-m}{2}}$ $\cdot (1+X)ˆ{-\frac{n+m}{2}} \cdot \frac{\partialˆ{l-n}}{\partial Xˆ{l-n}} \left [ (1-X)ˆ{l-m} (1+X)ˆ{l+m} \right ]$

Lorsque $X$ décrit l'intervalle $[ - 1;1]$ , cette fonction $P l mn$ est soit réelle, soit imaginaire pure. $Y 000 (ψ, θ, φ)$ est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

$Y_lˆ{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2) = \sum_{s = -l}ˆ{+l} Y_lˆ{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_lˆ{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)$

et surtout

$P_lˆ{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2)) = \sum_{s = -l}ˆ{+l} P_lˆ{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_lˆ{sn}(\cos \theta_2)$

On a généralement :

$P_lˆ{mn} = P_lˆ{nm} = P_lˆ{-m -n}$

Par exemple pour $l = 1$ :

$P_1ˆ{mn}(\cos \theta)$
$m$	$n$
$m$	-1	0	+1
-1	$\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$cosθ$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$
1	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$

Pour $l = 2$ :

$P_2ˆ{mn}(\cos \theta)$
$m$	$n$
$m$	-2	-1	0	+1	+2
-2	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)ˆ2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cosˆ2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)ˆ2$
-1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cosˆ2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cosˆ2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cosˆ2 \theta)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2} (3 \cosˆ2 \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cosˆ2 \theta)$
1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cosˆ2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cosˆ2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$
2	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)ˆ2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cosˆ2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)ˆ2$

Liens externes

Champs géophysiques, $C$ . Vigny, cours de l'École normale supérieure
La prévision numérique avec le modèle ARPEGE sur le site de Météo-France rubrique Comprendre la météo > Dossiers thématiques > La prévision numérique
Simulateur d'harmoniques sphériques (programme), site de l'École polytechnique (X), Palaiseau, France
Spherical Harmonic, du site [http ://mathworld. wolfram. com/ Eric Weisstein's World of Mathematics]
Oscillations propres de la Terre lors d'un séisme, une des applications des harmoniques sphériques (images gif animées) ;
Représentations 3D de fonctions d'orientation

Bibliographie

I. S. Gradshteyn & I. M. Ryzhik ; Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds. ), Academic Press (6^e édition — 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : [http ://www. mathtable. com/gr/ www. mathtable. com]
John D. Jackson ; Électrodynamique classique — Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3^e édition du grand classique américain.
J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions]

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
H. -J. Bunge, Texture analysis in materials science — Mathematical methods, éd. Butterworths, 1969 (1982 pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées.
Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries : Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, Les Éditions de l'École Polytechnique, Juillet 2006 ; chapitre 7, Les harmoniques sphériques ; ISBN 273021257-4.

Notes et références

↑ On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction $\phi∼$ lisse à support compact, on a : $\int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm{grad} \phi \|ˆ2$ Cette identiqueité se démontre en utilisant la relation $Δ = div grad$ et en intégrant par parties.
↑ Bernard Schæffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007
↑ Atomes circulaires : propriétés et préparation

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