Transformée de Hadamard
La transformée d´Hadamard est un exemple d'une classe généralisée d'une transformée de Fourier. Elle est appelée selon le mathématicien français Jacques Hadamard...
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La transformée d´Hadamard (aussi connue sous le nom de «transformée de Walsh-Hadamard») est un exemple d'une classe généralisée d'une transformée de Fourier. Elle est appelée selon le mathématicien français Jacques Hadamard et effectue une opération linéaire et involutive avec une matrice orthogonale et symétrique sur 2m nombres réels (ou complexes, quoique les matrices utilisées possèdent des cœfficients réels). Ces matrices sont des matrices de Hadamard.
La transformée de Hadamard peut être vue comme étant issue d'une transformée de Fourier discrète et s'avère être en fait l'équivalent d'une transformée de Fourier discrète multidimensionnelle d'une taille de . Elle décompose un vecteur arbitraire en entrée en une superposition de fonctions de Walsh.
Définition formelle
La transformée de Hadamard Hm utilise une matrice (une matrice de Hadamard) multipliée par un facteur de normalisation, et transforme 2m nombres réels xn en 2m nombres réels Xk. La transformée peut être définie de deux manières : récursivement ou en utilisant une représentation binaire des indices n et k.
Récursivement, on définit une première transformation via une matrice H0 qui est la matrice identité avec un seul élément (1). On définit ensuite Hm pour m > 0 grâce à la relation suivante :
où est un facteur de normalisation qui est quelquefois omis. Ainsi, à l'exception de la normalisation, les cœfficients de la matrice sont égaux à 1 ou -1.
De manière équivalente, on peut définir l'élément (k, n) d'une matrice de Hadamard grâce à et
, où kj etnj sont le bit j (0 ou 1) de respectivement n et k. Dans ce cas, on obtient
.
Il s'agit d'une transformée de Fourier discrète normalisée de façon à être unitaire, si on considère les entrées et les sorties comme des tableaux multidimensionnels indexés par nj et kj.
Quelques matrices de Hadamard :
Les lignes d'une matrice de Hadamard forment des fonctions de Walsh.
Applications
Dans le traitement de l'informatique quantique, la transformation de Hadamard, plus fréquemment nommée «porte de Hadamard» dans ce contexte, est une rotation d'un qubit. Elle sert à transformer les états et
du qubit en deux états juxtaposés avec un poids identique :
et
. Généralement, les phases sont choisies de telle manière que :
dans la notation de Dirac. Cela correspond à la matrice de transformation :
dans la base .
La plupart d'algorithmes quantiques utilisent la transformation de Hadamard comme première étape, puisque elle transforme n qubits initialisés avec |0› en une superposition de l'ensemble des 2n états orthogonaux exprimés dans la base avec une pondération identique.
À titre d'exemple, l'algorithme de Shor fait appel à une telle transformation.
Autres applications
La transformation est utilisée en cryptographie, on parle alors de pseudo-transformation de Hadamard. Elle est aussi utilisée pour générer des nombres aléatoires à partir d'une distribution gaussienne. On l'utilise aussi dans la compression de données comme dans l'algorithme H. 264 et pour des opérations de traitement du signal.
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
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