Théorème de Balian-Low

En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.



Catégories :

Théorie de Fourier - Physique quantique - Théorème de mathématiques

Recherche sur Google Images :


Source image : fr.wikipedia.org
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • de Riemann Discuter : Fonction zeta de Riemann; Force (physique) Discuter :Force (physique)...... Théorème de Balian - Low Discuter : Théorème de Balian - Low... (source : techno-science)

En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.

Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

g_{m,n} \left( x \right) \ = \ eˆ{2\pi i m x} \ g \left( x - n \right),

Si la totalité des \{g_{m,n}: m, n \in \mathbb{Z}\} forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert Lˆ2 \left( \mathbb{R} \right) , alors on a :

\int_{-\infty}ˆ\infty xˆ2 \ | g \left( x \right)|ˆ2 \ dx \ = \ \infty

ou bien :

\int_{-\infty}ˆ\infty \xiˆ2 \ |\hat{g} \left( \xi \right)|ˆ2\ d\xi \ = \ \infty

avec \hat{g} la transformée de Fourier de la fonction g.

Famille de Gabor

On nomme famille de Gabor tout ensemble de la forme :

f_{m,n}\left( t \right)\ = \ eˆ{2\pi i m F_0 t} \ f \left( t - n T_0 \right),

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, nommée fonction prototype ; F0 et T0 deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On nomme densité de la famille le nombre réel :

d \ = \ \frac{1}{F_0 \, T_0}

Théorème de Balian-Low

Dans ce contexte, le théorème de Balian-Low s'énonce sous la forme d'un principe d'incertitude :

«Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien située en temps et en fréquence.»

Bibliographie
  • Roger Balian, Un principe d'incertitude fort en principe du signal ou en mécanique quantique, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 292 (1981), 1357-1362 ;
  • Francis Low, Complete sets of wave packets, dans : C. DeTar (editor), A Passion for Physics - Essay in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific (Singapour-1985), 17-22 ;
  • Yves Meyer, Le traitement du signal et l'analyse mathématique, Annales de l'institut Fourier 50 (2) (2000), 593-632 ; Numdam
  • J. Benedetto, C. Heil & D. Walnut, Differentiation and the Balian-Low theorem, J. Fourier Analysis and Applications 1 (1995).

Recherche sur Amazone (livres) :




Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Balian-Low.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu