Théorème de Balian-Low

En mathématiques, le théorème de Balian-Low est un résultat d'analyse de Fourier dû aux physiciens Roger Balian et Francis Low, respectivement français et américain.

Théorème de Balian-Low

Soit g une fonction de carré sommable sur la droite réelle. Posons pour tout couple d'entiers m et n :

$g_{m,n} \left( x \right) \ = \ eˆ{2\pi i m x} \ g \left( x - n \right),$

Si la totalité des $\{g_{m,n}: m, n \in \mathbb{Z}\}$ forme une base orthonormée de l'espace de Hilbert $Lˆ2 \left( \mathbb{R} \right)$ , alors on a :

$\int_{-\infty}ˆ\infty xˆ2 \ | g \left( x \right)|ˆ2 \ dx \ = \ \infty$

ou bien :

$\int_{-\infty}ˆ\infty \xiˆ2 \ |\hat{g} \left( \xi \right)|ˆ2\ d\xi \ = \ \infty$

avec $\hat{g}$ la transformée de Fourier de la fonction g.

Famille de Gabor

On nomme famille de Gabor tout ensemble de la forme :

$f_{m,n}\left( t \right)\ = \ eˆ{2\pi i m F_0 t} \ f \left( t - n T_0 \right),$

avec f une fonction de carré sommable sur la droite réelle, nommée fonction prototype ; $F 0$ et $T 0$ deux constantes réelle, et (m, n) un couple d'entiers.

On nomme densité de la famille le nombre réel :

$d \ = \ \frac{1}{F_0 \, T_0}$

Théorème de Balian-Low

Dans ce contexte, le théorème de Balian-Low s'énonce sous la forme d'un principe d'incertitude :

«Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien située en temps et en fréquence.»

Bibliographie

Roger Balian, Un principe d'incertitude fort en principe du signal ou en mécanique quantique, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 292 (1981), 1357-1362 ;
Francis Low, Complete sets of wave packets, dans : C. DeTar (editor), A Passion for Physics - Essay in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific (Singapour-1985), 17-22 ;
Yves Meyer, Le traitement du signal et l'analyse mathématique, Annales de l'institut Fourier 50 (2) (2000), 593-632 ; Numdam
J. Benedetto, C. Heil & D. Walnut, Differentiation and the Balian-Low theorem, J. Fourier Analysis and Applications 1 (1995).

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